Widerspricht eine Parabel den euklidischen Axiomen und ist deshalb eine unmögliche Figur?

Question

Widerspricht eine Parabel den euklidischen Axiomen und ist deshalb eine unmögliche Figur?

Antwort

Verwandte Fragen

Welche Einschränkungen setzt die euklidische Geometrie gegenüber der ursprünglichen Geometrie?

Ist die euklidische Geometrie die ursprüngliche Geometrie oder gibt es Geometrien ohne Einschränkungen?

Was bedeutet ursprüngliche Geometrie ohne euklidische Einschränkungen für Grenzprozesse und die Parabel y = x^2?

Was ist der Unterschied zwischen ursprünglicher Geometrie und euklidischer Geometrie?

Was bedeutet eine nichteuklidische Geometrie, in der quadratische und kubische Parabeln zugelassen sind, und welche neuen Einsichten ergeben sich daraus?

Ist eine ursprüngliche Geometrie ohne euklidische Einschränkungen bei Kurven und Grenzprozessen möglich?

Ist eine ursprüngliche Geometrie ohne euklidische Einschränkungen möglich?

Worin unterscheidet sich die Kurvenerzeugung der Parabel y=x^2 von der des Kreises y=(r^2-x^2)^{1/2}, sodass Euklid sie nicht zulässt?

Ist die cohaerentische Geometrie gegenüber der euklidischen eine uneingeschränkte Geometrie, die auch Parabeln wie y=x^2 und y=x^3 einbezieht?

Parabel schneidet bei x = -2 und x = 4 die x-Achse. Wie lautet b und die Parabelgleichung?

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Nein, eine Parabel ist keine „unmögliche“ Figur und widerspricht den euklidischen Axiomen nicht. Im Gegenteil: Parabeln sind klassische Objekte der euklidischen Geometrie. **Begründung:** - Die elidischen Axiome (z.B. aus Euklids „Elemente“) legen die Grundlagen für Punkte, Geraden, Ebenen und deren Beziehungen fest. Sie schließen Kurven wie Parabeln nicht aus. - Parabeln sind spezielle Kurven, die als Schnitt einer Ebene mit einem Kegel (Kegelschnitt) entstehen oder als geometrischer Ort aller Punkte, die von einem festen Punkt (Fokus) und einer festen Geraden (Direktrix) den gleichen Abstand haben. - Die Konstruktion einer Parabel erfolgt mit Zirkel und Lineal, also mit den klassischen Werkzeugen der euklidischen Geometrie. - Geraden und Parabeln werden zwar beide durch Gleichungen beschrieben (z.B. \(y = mx + b\) für Geraden, \(y = ax^2 + bx + c\) für Parabeln), aber sie sind unterschiedliche Objekte: Die Gerade ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten, die Parabel eine spezielle Kurve. **Fazit:** Parabeln sind vollkommen „mögliche“ Figuren in der euklidischen Geometrie und widersprechen den Axiomen nicht. Sie werden nach anderen, aber ebenfalls euklidisch zulässigen Prinzipien erzeugt wie Geraden.

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Die euklidische Geometrie schränkt die ursprüngliche, oft als „elementare“ oder „anschauliche“ Geometrie bezeichnete Betrachtungsweise durch klare Axiome und Regeln e... [mehr]

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Die euklidische Geometrie schränkt die ursprüngliche, oft als „elementare“ oder „anschauliche“ Geometrie bezeichnete Betrachtungsweise durch klare Axiome und Regeln ein. Die wichtigsten Verbote bzw. Einschränkungen sind: 1. **Parallelenaxiom**: In der euklidischen Geometrie gilt das Parallelenaxiom (das fünfte Postulat): Zu einer gegebenen Geraden und einem Punkt außerhalb dieser Geraden gibt es genau eine Parallele durch den Punkt. In anderen Geometrien (z. B. hyperbolische oder elliptische Geometrie) gilt das nicht. 2. **Geraden sind unendlich und haben keine Krümmung**: Nur gerade Linien werden als „Geraden“ betrachtet, keine gekrümmten Linien. 3. **Ebene als Grundfläche**: Die euklidische Geometrie beschränkt sich auf ebene Flächen (zweidimensional) oder den dreidimensionalen Raum, während in der ursprünglichen Geometrie auch gekrümmte Flächen betrachtet werden könnten. 4. **Winkel- und Längenmessung**: Es gelten feste Regeln für das Messen von Winkeln und Längen, die auf den euklidischen Axiomen beruhen. 5. **Dreiecks- und Winkelsumme**: In der euklidischen Geometrie ist die Winkelsumme im Dreieck immer 180°. In anderen Geometrien kann sie abweichen. 6. **Keine „unmöglichen“ Figuren**: Figuren, die den euklidischen Axiomen widersprechen (z. B. ein Dreieck mit mehr als 180° Winkelsumme), sind nicht erlaubt. Zusammengefasst: Die euklidische Geometrie schränkt die ursprüngliche Geometrie durch die Einführung von Axiomen und logischen Regeln ein, insbesondere durch das Parallelenaxiom und die Beschränkung auf ebene, gerade Linien und klassische Winkel- und Längenmessung. Dadurch werden viele „freiere“ oder anschauliche Konstruktionen ausgeschlossen, die in anderen (nichteuklidischen) Geometrien möglich sind.

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Die euklidische Geometrie ist tatsächlich eine der ältesten und am ausführlichsten untersuchten Formen der Geometrie. Sie basiert auf den Axiomen, die erstmals systematisch von Euklid i... [mehr]

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Die euklidische Geometrie ist tatsächlich eine der ältesten und am ausführlichsten untersuchten Formen der Geometrie. Sie basiert auf den Axiomen, die erstmals systematisch von Euklid im antiken Griechenland formuliert wurden. Diese Axiome sind grundlegende Annahmen, die nicht weiter bewiesen werden, sondern als Ausgangspunkt für alle weiteren Überlegungen dienen. Zu den bekanntesten Einschränkungen gehört das Parallelenaxiom, das besagt, dass es zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb dieser Geraden genau eine Parallele gibt. Vor Euklid gab es jedoch keine systematische, axiomatische Behandlung der Geometrie. Die Menschen nutzten geometrische Überlegungen praktisch, zum Beispiel beim Landvermessen oder Bauen, ohne diese in ein formales System zu bringen. In diesem Sinne könnte man sagen, dass die „ursprüngliche“ Geometrie tatsächlich weniger eingeschränkt war, weil sie nicht auf ein festes Axiomensystem festgelegt war, sondern eher aus praktischen Erfahrungen und Beobachtungen bestand. Mit der Entwicklung der Mathematik wurden dann verschiedene Geometrien mit unterschiedlichen Axiomensystemen entwickelt, wie zum Beispiel die nichteuklidischen Geometrien (hyperbolische und elliptische Geometrie), die das Parallelenaxiom abändern oder weglassen. Zusammengefasst: - Die euklidische Geometrie ist die erste systematisch-axiomatische Geometrie, aber nicht die „ursprünglichste“ im Sinne von „ohne Einschränkungen“. - Ursprüngliche Geometrie war eher praktisch und nicht formalisiert. - Euklid führte Einschränkungen (Axiome) ein, um ein logisches System zu schaffen. Mehr zur euklidischen Geometrie findest du z.B. hier: [Wikipedia: Euklidische Geometrie](https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie)

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Deine Frage scheint sich auf die Kosten („Was kostet…“) oder den Wert („Was leistet…“) der ursprünglichen Geometrie im Vergleich zur euklidischen Geometrie z... [mehr]

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Deine Frage scheint sich auf die Kosten („Was kostet…“) oder den Wert („Was leistet…“) der ursprünglichen Geometrie im Vergleich zur euklidischen Geometrie zu beziehen, insbesondere im Zusammenhang mit Grenzprozessen und der Parabel \( y = x^2 \). Die Formulierung ist allerdings etwas unklar. Hier eine mögliche Interpretation und Antwort: **Ursprüngliche Geometrie** bezieht sich meist auf die klassische, von Euklid begründete Geometrie, die auf Axiomen und Konstruktionen mit Zirkel und Lineal basiert. In der euklidischen Geometrie sind nur bestimmte Konstruktionen erlaubt, und Grenzprozesse (wie sie in der Analysis verwendet werden) spielen keine Rolle. **Ohne euklidische Einschränkungen** bedeutet, dass man auch andere Methoden zulässt, etwa analytische oder algebraische Verfahren, die über die klassischen Werkzeuge hinausgehen. **Konstruierten Grenzprozesse** sind Methoden der Analysis, bei denen man mit unendlichen Folgen, Grenzwerten und stetigen Übergängen arbeitet – etwas, das in der klassischen Geometrie nicht vorgesehen ist. **Die Kurve Parabel \( y = x^2 \)** ist ein Beispiel für ein Objekt, das in der klassischen Geometrie nicht direkt mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann, sondern analytisch beschrieben wird. **Zusammengefasst:** - Die ursprüngliche (euklidische) Geometrie ist auf Konstruktionen mit Zirkel und Lineal beschränkt und kann viele Kurven, wie die Parabel \( y = x^2 \), nicht exakt konstruieren. - Ohne diese Einschränkungen (also mit analytischen Methoden und Grenzprozessen) kann man beliebige Kurven, wie die Parabel, exakt beschreiben und analysieren. - Der „Wert“ oder „Leistung“ der ursprünglichen Geometrie liegt in ihrer Anschaulichkeit und Strenge, aber sie ist in ihrer Ausdruckskraft begrenzt. - Die Erweiterung durch analytische Methoden (wie in der Analysis) erlaubt es, viel mehr Objekte zu beschreiben und zu untersuchen, insbesondere solche, die durch Grenzprozesse definiert sind. **Fazit:** Die ursprüngliche Geometrie ist in ihrer Ausdruckskraft begrenzt, da sie keine Grenzprozesse und keine analytischen Kurven wie \( y = x^2 \) direkt zulässt. Erst durch die Erweiterung um analytische Methoden und Grenzprozesse (wie in der modernen Mathematik) kann man solche Kurven vollständig erfassen und untersuchen. Falls du eine spezifischere oder anders gelagerte Frage meintest, bitte formuliere sie noch einmal klarer.

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Die **ursprüngliche Geometrie** bezieht sich auf die frühen, vorwissenschaftlichen Formen der Geometrie, wie sie in alten Kulturen (z. B. Ägypten, Babylonien) praktiziert wurde. Sie ent... [mehr]

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Die **ursprüngliche Geometrie** bezieht sich auf die frühen, vorwissenschaftlichen Formen der Geometrie, wie sie in alten Kulturen (z. B. Ägypten, Babylonien) praktiziert wurde. Sie entstand aus praktischen Bedürfnissen wie Landvermessung, Bauwesen oder Astronomie. Diese Geometrie war meist empirisch, also auf Erfahrung und Beobachtung gestützt, und nicht systematisch oder axiomatisch aufgebaut. Es gab keine strenge Beweisführung, sondern eher Regeln und Verfahren, die sich im Alltag bewährten. Die **euklidische Geometrie** hingegen ist ein von Euklid (um 300 v. Chr.) in seinem Werk „Die Elemente“ systematisch entwickeltes mathematisches System. Sie basiert auf wenigen, klar formulierten Axiomen (Grundannahmen) und Postulaten, aus denen alle weiteren Sätze (Theoreme) logisch abgeleitet werden. Die euklidische Geometrie ist die klassische Geometrie des flachen Raumes, wie sie in der Schule gelehrt wird (Punkte, Geraden, Ebenen, Winkel, Kreise usw.). **Zusammengefasst:** - Ursprüngliche Geometrie: Praktisch, empirisch, nicht systematisch, vorwissenschaftlich. - Euklidische Geometrie: Systematisch, axiomatisch, logisch aufgebaut, wissenschaftlich fundiert. Mehr zur euklidischen Geometrie findest du z. B. bei [Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie).

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In der klassischen euklidischen Geometrie werden Geraden als die grundlegenden „Linien“ betrachtet, auf denen die Geometrie aufgebaut ist. In nichteuklidischen Geometrien (wie der hyperbol... [mehr]

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In der klassischen euklidischen Geometrie werden Geraden als die grundlegenden „Linien“ betrachtet, auf denen die Geometrie aufgebaut ist. In nichteuklidischen Geometrien (wie der hyperbolischen oder elliptischen Geometrie) werden die Eigenschaften von Geraden und Winkeln verändert, aber es bleibt meist dabei, dass „Geraden“ spezielle Kurven mit bestimmten Eigenschaften sind. Wenn du nun eine Geometrie betrachtest, in der nicht nur Geraden, sondern auch quadratische (z.B. Parabeln der Form \(y = ax^2 + bx + c\)) und kubische Parabeln (z.B. \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\)) als „zulässige“ Grundobjekte gelten, dann verlässt du die klassische Geometrie und betrittst das Gebiet der sogenannten **Kurvengeometrie** oder **algebraischen Geometrie**. **Neue Einsichten und Konsequenzen:** 1. **Verallgemeinerung des Geradenbegriffs:** In einer solchen Geometrie sind nicht mehr nur Geraden die „kürzesten Verbindungen“ oder „einfachsten Kurven“, sondern auch Parabeln und kubische Parabeln. Das bedeutet, dass viele klassische Sätze (wie der Satz von der eindeutigen Verbindung zweier Punkte durch eine Gerade) nicht mehr gelten oder verallgemeinert werden müssen. 2. **Vielfalt der Verbindungen:** Zwischen zwei Punkten gibt es im Allgemeinen unendlich viele Parabeln und kubische Parabeln, die durch beide Punkte verlaufen. Die Eindeutigkeit der Verbindung, wie sie für Geraden gilt, geht verloren. 3. **Algebraische Geometrie:** Die Untersuchung von Geometrien, in denen allgemeine algebraische Kurven (also Nullstellen von Polynomen beliebigen Grades) zugelassen sind, ist das Gebiet der **algebraischen Geometrie**. Hier werden geometrische Eigenschaften von Kurven und Flächen untersucht, die durch Gleichungen wie \(f(x, y) = 0\) beschrieben werden. 4. **Neue Invarianten und Klassifikationen:** In der algebraischen Geometrie spielen Begriffe wie **Genus** (eine Art „Löcherzahl“ einer Kurve), **Singularitäten** (Stellen, an denen die Kurve „spitz“ oder „seltsam“ ist) und **Rationalität** eine große Rolle. Diese Konzepte sind in der klassischen Geometrie nicht vorhanden. 5. **Projektive Geometrie:** Wenn du alle Parabeln und kubischen Parabeln zulässt, bewegst du dich auch in Richtung der **projektiven Geometrie**, in der alle algebraischen Kurven (auch Geraden als Spezialfall) betrachtet werden. Hier werden viele klassische Begriffe (wie Parallelität) neu definiert oder verlieren ihre Bedeutung. 6. **Neue Symmetrien und Transformationen:** Die Gruppe der zulässigen Transformationen (z.B. Affinitäten, projektive Transformationen) wird größer, wenn du mehr Kurventypen zulässt. Das verändert die Struktur der Geometrie grundlegend. **Zusammengefasst:** Wenn du eine Geometrie zulässt, in der auch quadratische und kubische Parabeln als „Grundobjekte“ gelten, erhältst du eine viel allgemeinere und reichhaltigere Struktur als in der klassischen Geometrie. Die Untersuchung solcher Geometrien ist das Gebiet der algebraischen und projektiven Geometrie, die viele neue Einsichten über die Struktur und Klassifikation von Kurven und Flächen liefert. Weitere Informationen findest du z.B. bei [Wikipedia: Algebraische Geometrie](https://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Geometrie) und [Wikipedia: Projektive Geometrie](https://de.wikipedia.org/wiki/Projektive_Geometrie).

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Ja, eine Geometrie ohne die klassischen euklidischen Einschränkungen ist möglich und wurde in der Mathematik auch entwickelt. Die euklidische Geometrie basiert auf den fünf berühmt... [mehr]

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Ja, eine Geometrie ohne die klassischen euklidischen Einschränkungen ist möglich und wurde in der Mathematik auch entwickelt. Die euklidische Geometrie basiert auf den fünf berühmten Axiomen von Euklid, insbesondere dem Parallelenaxiom. Wenn man diese Axiome (oder einzelne davon) aufhebt oder verändert, entstehen alternative Geometrien, sogenannte **nichteuklidische Geometrien**. Einige Beispiele: 1. **Sphärische Geometrie**: Hier existieren keine Parallelen, da alle "Geraden" (Großkreise auf einer Kugel) sich schneiden. Die Winkelsumme im Dreieck ist stets größer als 180°. 2. **Hyperbolische Geometrie**: Es gibt unendlich viele Parallelen zu einer gegebenen Geraden durch einen Punkt außerhalb dieser Geraden. Die Winkelsumme im Dreieck ist stets kleiner als 180°. 3. **Topologische Geometrie**: Hier werden geometrische Eigenschaften betrachtet, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben, ohne dass Längen oder Winkel eine Rolle spielen. 4. **Projektive Geometrie**: In dieser Geometrie gibt es keine Parallelität mehr, da alle Geraden sich in einem "unendlich fernen Punkt" schneiden. 5. **Algebraische Geometrie**: Hier werden geometrische Objekte als Nullstellen von Polynomen betrachtet, ohne Rücksicht auf klassische Längen- oder Winkelbegriffe. **Kurven und Grenzprozesse**: Auch der Begriff der Kurve und der Grenzprozesse (wie sie in der Analysis vorkommen) kann in anderen Geometrien anders definiert oder interpretiert werden. In der Topologie etwa sind Kurven stetige Abbildungen, unabhängig von einer konkreten Metrik. In der synthetischen Differentialgeometrie werden Grenzprozesse durch andere, axiomatische Mittel ersetzt. **Fazit:** Eine Geometrie ohne euklidische Einschränkungen ist nicht nur möglich, sondern ein wichtiger und fruchtbarer Teil der modernen Mathematik. Sie eröffnet neue Perspektiven auf Raum, Form und Struktur. Weitere Informationen findest du z.B. bei [Wikipedia: Nichteuklidische Geometrie](https://de.wikipedia.org/wiki/Nichteuklidische_Geometrie).

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Ja, das ist möglich. Die ursprüngliche Geometrie, wie sie von den alten Griechen (insbesondere Euklid) entwickelt wurde, basiert auf bestimmten Axiomen und Annahmen – zum Beispiel dem... [mehr]

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Ja, das ist möglich. Die ursprüngliche Geometrie, wie sie von den alten Griechen (insbesondere Euklid) entwickelt wurde, basiert auf bestimmten Axiomen und Annahmen – zum Beispiel dem Parallelenaxiom. Im 19. Jahrhundert entdeckten Mathematiker wie Nikolai Lobatschewski, János Bolyai und Carl Friedrich Gauß, dass es konsistente Geometrien gibt, in denen das Parallelenaxiom nicht gilt. Diese nennt man **nichteuklidische Geometrien**. Beispiele: - **Sphärische Geometrie**: Auf einer Kugeloberfläche gibt es keine echten Parallelen, da sich alle „Geraden“ (Großkreise) schneiden. - **Hyperbolische Geometrie**: Durch einen Punkt außerhalb einer Geraden verlaufen unendlich viele Parallelen zu dieser Geraden. Diese Geometrien sind genauso logisch und konsistent wie die euklidische Geometrie, nur basieren sie auf anderen Grundannahmen. Sie zeigen, dass Geometrie nicht zwangsläufig an die euklidischen Einschränkungen gebunden ist. Die Wahl der Axiome bestimmt, welche Geometrie entsteht. Mehr dazu findest du z.B. bei [Wikipedia: Nichteuklidische Geometrie](https://de.wikipedia.org/wiki/Nichteuklidische_Geometrie).

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Die Unterschiede in der Kurvenerzeugung zwischen der Parabel \( y = x^2 \) und dem Kreis \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) liegen in den Prinzipien der klassischen euklidischen Geometrie, wie sie Euklid in s... [mehr]

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Die Unterschiede in der Kurvenerzeugung zwischen der Parabel \( y = x^2 \) und dem Kreis \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) liegen in den Prinzipien der klassischen euklidischen Geometrie, wie sie Euklid in seinen „Elementen“ festgelegt hat. **1. Euklidische Konstruktionen:** Euklid erlaubt nur Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Das bedeutet, es dürfen nur Geraden und Kreise (bzw. Kreisbögen) gezeichnet werden, die durch diese Werkzeuge entstehen. **2. Kreis:** Die Gleichung \( x^2 + y^2 = r^2 \) beschreibt einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius \( r \). Einen Kreis kann man mit Zirkel und Lineal nach Euklid konstruieren, indem man einen festen Punkt (Mittelpunkt) und einen festen Abstand (Radius) vorgibt. **3. Parabel:** Die Gleichung \( y = x^2 \) beschreibt eine Parabel. Parabeln sind Kegelschnitte, die entstehen, wenn man einen Kegel mit einer Ebene schneidet, die parallel zu einer Mantellinie des Kegels verläuft. Die Parabel lässt sich jedoch **nicht** mit Zirkel und Lineal konstruieren. Es gibt kein euklidisches Verfahren, mit dem man eine Parabel direkt zeichnen kann, da sie nicht durch die Grundoperationen (Kreis und Gerade) erzeugt werden kann. **4. Prinzipieller Unterschied:** - **Kreis:** Erlaubt, da er mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. - **Parabel:** Nicht erlaubt, da sie nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. **5. Mathematischer Hintergrund:** - Die Kreisgleichung ist algebraisch zweiten Grades in beiden Variablen und entspricht der Definition eines Kreises als Menge aller Punkte mit konstantem Abstand zum Mittelpunkt. - Die Parabelgleichung ist zwar auch zweiten Grades, aber sie beschreibt eine andere Kurvenart, die nicht auf die euklidischen Grundkonstruktionen zurückgeführt werden kann. **Fazit:** Euklid lässt die Parabel nicht zu, weil sie nicht mit Zirkel und Lineal erzeugt werden kann, während der Kreis genau diesen Prinzipien entspricht. Das ist der fundamentale Unterschied in der Kurvenerzeugung, der dazu führt, dass Euklid die Parabel nicht zulässt, den Kreis aber schon. Weitere Informationen zu Euklids Geometrie: [Wikipedia: Euklidische Geometrie](https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie) [Wikipedia: Parabel](https://de.wikipedia.org/wiki/Parabel_(Mathematik)) [Wikipedia: Kreis](https://de.wikipedia.org/wiki/Kreis)

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Deine Aussage ist inhaltlich nicht ganz korrekt und die Begriffe sind teilweise unklar oder nicht standardisiert. Es gibt keine allgemein anerkannte „cohaerentische Geometrie“ in der Mathe... [mehr]

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Deine Aussage ist inhaltlich nicht ganz korrekt und die Begriffe sind teilweise unklar oder nicht standardisiert. Es gibt keine allgemein anerkannte „cohaerentische Geometrie“ in der Mathematik. Die euklidische Geometrie ist die klassische Geometrie, die sich mit Punkten, Geraden, Kreisen usw. im euklidischen Raum beschäftigt. Wenn du darauf hinauswillst, dass es Geometrien gibt, die nicht nur Geraden und Kreise, sondern auch Parabeln und andere Kurven wie \( y = x^2 \) oder \( y = x^3 \) als „Grundobjekte“ behandeln, dann spricht man eher von analytischer Geometrie oder von algebraischer Geometrie. In diesen Disziplinen werden allgemeine Kurven, die durch Gleichungen beschrieben werden, untersucht. **Zusammengefasst:** - Die euklidische Geometrie arbeitet mit Punkten, Geraden, Kreisen usw. - In der analytischen oder algebraischen Geometrie werden auch Parabeln, Kubiken und andere Kurven betrachtet. - Der Begriff „cohaerentische Geometrie“ ist in der Mathematik nicht gebräuchlich. Falls du auf eine spezielle Theorie oder ein bestimmtes Konzept hinauswillst, wäre eine genauere Begriffserklärung hilfreich.

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Gegeben ist, dass die Parabel die x-Achse bei \( x = -2 \) und \( x = 4 \) schneidet. Das bedeutet, die Nullstellen der Parabel sind \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = 4 \). Die allgemeine Form einer Parabe... [mehr]

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Gegeben ist, dass die Parabel die x-Achse bei \( x = -2 \) und \( x = 4 \) schneidet. Das bedeutet, die Nullstellen der Parabel sind \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = 4 \). Die allgemeine Form einer Parabel (quadratische Funktion) mit den Nullstellen \( x_1 \) und \( x_2 \) lautet: \[ y = a(x - x_1)(x - x_2) \] Setze die Werte ein: \[ y = a(x + 2)(x - 4) \] Wenn keine weiteren Angaben (z.B. Scheitelpunkt oder ein Punkt, durch den die Parabel verläuft) gemacht werden, kann \( a \) beliebig gewählt werden. Häufig wird \( a = 1 \) angenommen, wenn nichts anderes gegeben ist. **1. Gleichung der Parabel (mit \( a = 1 \)):** \[ y = (x + 2)(x - 4) \] \[ y = x^2 - 4x + 2x - 8 \] \[ y = x^2 - 2x - 8 \] **2. Parameter \( b \) in der Form \( y = x^2 + bx + c \):** Vergleiche: \[ y = x^2 - 2x - 8 \] Hier ist \( b = -2 \). **Antwort:** - \( b = -2 \) - Die Gleichung der Parabel lautet: \( y = x^2 - 2x - 8 \) Falls ein anderer Wert für \( a \) gegeben ist, müsste dieser noch eingesetzt werden.