Welche Einschränkungen setzt die euklidische Geometrie gegenüber der ursprünglichen Geometrie?

Question

Welche Einschränkungen setzt die euklidische Geometrie gegenüber der ursprünglichen Geometrie?

Antwort

Verwandte Fragen

Widerspricht eine Parabel den euklidischen Axiomen und ist deshalb eine unmögliche Figur?

Ist die euklidische Geometrie die ursprüngliche Geometrie oder gibt es Geometrien ohne Einschränkungen?

Was ist der Unterschied zwischen ursprünglicher Geometrie und euklidischer Geometrie?

Ist eine ursprüngliche Geometrie ohne euklidische Einschränkungen bei Kurven und Grenzprozessen möglich?

Ist eine ursprüngliche Geometrie ohne euklidische Einschränkungen möglich?

Ist die cohaerentische Geometrie gegenüber der euklidischen eine uneingeschränkte Geometrie, die auch Parabeln wie y=x^2 und y=x^3 einbezieht?

Accepted Answer

Die euklidische Geometrie schränkt die ursprüngliche, oft als „elementare“ oder „anschauliche“ Geometrie bezeichnete Betrachtungsweise durch klare Axiome und Regeln ein. Die wichtigsten Verbote bzw. Einschränkungen sind: 1. **Parallelenaxiom**: In der euklidischen Geometrie gilt das Parallelenaxiom (das fünfte Postulat): Zu einer gegebenen Geraden und einem Punkt außerhalb dieser Geraden gibt es genau eine Parallele durch den Punkt. In anderen Geometrien (z. B. hyperbolische oder elliptische Geometrie) gilt das nicht. 2. **Geraden sind unendlich und haben keine Krümmung**: Nur gerade Linien werden als „Geraden“ betrachtet, keine gekrümmten Linien. 3. **Ebene als Grundfläche**: Die euklidische Geometrie beschränkt sich auf ebene Flächen (zweidimensional) oder den dreidimensionalen Raum, während in der ursprünglichen Geometrie auch gekrümmte Flächen betrachtet werden könnten. 4. **Winkel- und Längenmessung**: Es gelten feste Regeln für das Messen von Winkeln und Längen, die auf den euklidischen Axiomen beruhen. 5. **Dreiecks- und Winkelsumme**: In der euklidischen Geometrie ist die Winkelsumme im Dreieck immer 180°. In anderen Geometrien kann sie abweichen. 6. **Keine „unmöglichen“ Figuren**: Figuren, die den euklidischen Axiomen widersprechen (z. B. ein Dreieck mit mehr als 180° Winkelsumme), sind nicht erlaubt. Zusammengefasst: Die euklidische Geometrie schränkt die ursprüngliche Geometrie durch die Einführung von Axiomen und logischen Regeln ein, insbesondere durch das Parallelenaxiom und die Beschränkung auf ebene, gerade Linien und klassische Winkel- und Längenmessung. Dadurch werden viele „freiere“ oder anschauliche Konstruktionen ausgeschlossen, die in anderen (nichteuklidischen) Geometrien möglich sind.

Accepted Answer

Nein, eine Parabel ist keine „unmögliche“ Figur und widerspricht den euklidischen Axiomen nicht. Im Gegenteil: Parabeln sind klassische Objekte der euklidischen Geometrie. **Begr&uum... [mehr]

Accepted Answer

Nein, eine Parabel ist keine „unmögliche“ Figur und widerspricht den euklidischen Axiomen nicht. Im Gegenteil: Parabeln sind klassische Objekte der euklidischen Geometrie. **Begründung:** - Die elidischen Axiome (z.B. aus Euklids „Elemente“) legen die Grundlagen für Punkte, Geraden, Ebenen und deren Beziehungen fest. Sie schließen Kurven wie Parabeln nicht aus. - Parabeln sind spezielle Kurven, die als Schnitt einer Ebene mit einem Kegel (Kegelschnitt) entstehen oder als geometrischer Ort aller Punkte, die von einem festen Punkt (Fokus) und einer festen Geraden (Direktrix) den gleichen Abstand haben. - Die Konstruktion einer Parabel erfolgt mit Zirkel und Lineal, also mit den klassischen Werkzeugen der euklidischen Geometrie. - Geraden und Parabeln werden zwar beide durch Gleichungen beschrieben (z.B. \(y = mx + b\) für Geraden, \(y = ax^2 + bx + c\) für Parabeln), aber sie sind unterschiedliche Objekte: Die Gerade ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten, die Parabel eine spezielle Kurve. **Fazit:** Parabeln sind vollkommen „mögliche“ Figuren in der euklidischen Geometrie und widersprechen den Axiomen nicht. Sie werden nach anderen, aber ebenfalls euklidisch zulässigen Prinzipien erzeugt wie Geraden.

Accepted Answer

Die euklidische Geometrie ist tatsächlich eine der ältesten und am ausführlichsten untersuchten Formen der Geometrie. Sie basiert auf den Axiomen, die erstmals systematisch von Euklid i... [mehr]

Accepted Answer

Die euklidische Geometrie ist tatsächlich eine der ältesten und am ausführlichsten untersuchten Formen der Geometrie. Sie basiert auf den Axiomen, die erstmals systematisch von Euklid im antiken Griechenland formuliert wurden. Diese Axiome sind grundlegende Annahmen, die nicht weiter bewiesen werden, sondern als Ausgangspunkt für alle weiteren Überlegungen dienen. Zu den bekanntesten Einschränkungen gehört das Parallelenaxiom, das besagt, dass es zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb dieser Geraden genau eine Parallele gibt. Vor Euklid gab es jedoch keine systematische, axiomatische Behandlung der Geometrie. Die Menschen nutzten geometrische Überlegungen praktisch, zum Beispiel beim Landvermessen oder Bauen, ohne diese in ein formales System zu bringen. In diesem Sinne könnte man sagen, dass die „ursprüngliche“ Geometrie tatsächlich weniger eingeschränkt war, weil sie nicht auf ein festes Axiomensystem festgelegt war, sondern eher aus praktischen Erfahrungen und Beobachtungen bestand. Mit der Entwicklung der Mathematik wurden dann verschiedene Geometrien mit unterschiedlichen Axiomensystemen entwickelt, wie zum Beispiel die nichteuklidischen Geometrien (hyperbolische und elliptische Geometrie), die das Parallelenaxiom abändern oder weglassen. Zusammengefasst: - Die euklidische Geometrie ist die erste systematisch-axiomatische Geometrie, aber nicht die „ursprünglichste“ im Sinne von „ohne Einschränkungen“. - Ursprüngliche Geometrie war eher praktisch und nicht formalisiert. - Euklid führte Einschränkungen (Axiome) ein, um ein logisches System zu schaffen. Mehr zur euklidischen Geometrie findest du z.B. hier: [Wikipedia: Euklidische Geometrie](https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie)

Accepted Answer

Die **ursprüngliche Geometrie** bezieht sich auf die frühen, vorwissenschaftlichen Formen der Geometrie, wie sie in alten Kulturen (z. B. Ägypten, Babylonien) praktiziert wurde. Sie ent... [mehr]

Accepted Answer

Die **ursprüngliche Geometrie** bezieht sich auf die frühen, vorwissenschaftlichen Formen der Geometrie, wie sie in alten Kulturen (z. B. Ägypten, Babylonien) praktiziert wurde. Sie entstand aus praktischen Bedürfnissen wie Landvermessung, Bauwesen oder Astronomie. Diese Geometrie war meist empirisch, also auf Erfahrung und Beobachtung gestützt, und nicht systematisch oder axiomatisch aufgebaut. Es gab keine strenge Beweisführung, sondern eher Regeln und Verfahren, die sich im Alltag bewährten. Die **euklidische Geometrie** hingegen ist ein von Euklid (um 300 v. Chr.) in seinem Werk „Die Elemente“ systematisch entwickeltes mathematisches System. Sie basiert auf wenigen, klar formulierten Axiomen (Grundannahmen) und Postulaten, aus denen alle weiteren Sätze (Theoreme) logisch abgeleitet werden. Die euklidische Geometrie ist die klassische Geometrie des flachen Raumes, wie sie in der Schule gelehrt wird (Punkte, Geraden, Ebenen, Winkel, Kreise usw.). **Zusammengefasst:** - Ursprüngliche Geometrie: Praktisch, empirisch, nicht systematisch, vorwissenschaftlich. - Euklidische Geometrie: Systematisch, axiomatisch, logisch aufgebaut, wissenschaftlich fundiert. Mehr zur euklidischen Geometrie findest du z. B. bei [Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie).

Accepted Answer

Ja, eine Geometrie ohne die klassischen euklidischen Einschränkungen ist möglich und wurde in der Mathematik auch entwickelt. Die euklidische Geometrie basiert auf den fünf berühmt... [mehr]

Accepted Answer

Ja, eine Geometrie ohne die klassischen euklidischen Einschränkungen ist möglich und wurde in der Mathematik auch entwickelt. Die euklidische Geometrie basiert auf den fünf berühmten Axiomen von Euklid, insbesondere dem Parallelenaxiom. Wenn man diese Axiome (oder einzelne davon) aufhebt oder verändert, entstehen alternative Geometrien, sogenannte **nichteuklidische Geometrien**. Einige Beispiele: 1. **Sphärische Geometrie**: Hier existieren keine Parallelen, da alle "Geraden" (Großkreise auf einer Kugel) sich schneiden. Die Winkelsumme im Dreieck ist stets größer als 180°. 2. **Hyperbolische Geometrie**: Es gibt unendlich viele Parallelen zu einer gegebenen Geraden durch einen Punkt außerhalb dieser Geraden. Die Winkelsumme im Dreieck ist stets kleiner als 180°. 3. **Topologische Geometrie**: Hier werden geometrische Eigenschaften betrachtet, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben, ohne dass Längen oder Winkel eine Rolle spielen. 4. **Projektive Geometrie**: In dieser Geometrie gibt es keine Parallelität mehr, da alle Geraden sich in einem "unendlich fernen Punkt" schneiden. 5. **Algebraische Geometrie**: Hier werden geometrische Objekte als Nullstellen von Polynomen betrachtet, ohne Rücksicht auf klassische Längen- oder Winkelbegriffe. **Kurven und Grenzprozesse**: Auch der Begriff der Kurve und der Grenzprozesse (wie sie in der Analysis vorkommen) kann in anderen Geometrien anders definiert oder interpretiert werden. In der Topologie etwa sind Kurven stetige Abbildungen, unabhängig von einer konkreten Metrik. In der synthetischen Differentialgeometrie werden Grenzprozesse durch andere, axiomatische Mittel ersetzt. **Fazit:** Eine Geometrie ohne euklidische Einschränkungen ist nicht nur möglich, sondern ein wichtiger und fruchtbarer Teil der modernen Mathematik. Sie eröffnet neue Perspektiven auf Raum, Form und Struktur. Weitere Informationen findest du z.B. bei [Wikipedia: Nichteuklidische Geometrie](https://de.wikipedia.org/wiki/Nichteuklidische_Geometrie).

Accepted Answer

Ja, das ist möglich. Die ursprüngliche Geometrie, wie sie von den alten Griechen (insbesondere Euklid) entwickelt wurde, basiert auf bestimmten Axiomen und Annahmen – zum Beispiel dem... [mehr]

Accepted Answer

Ja, das ist möglich. Die ursprüngliche Geometrie, wie sie von den alten Griechen (insbesondere Euklid) entwickelt wurde, basiert auf bestimmten Axiomen und Annahmen – zum Beispiel dem Parallelenaxiom. Im 19. Jahrhundert entdeckten Mathematiker wie Nikolai Lobatschewski, János Bolyai und Carl Friedrich Gauß, dass es konsistente Geometrien gibt, in denen das Parallelenaxiom nicht gilt. Diese nennt man **nichteuklidische Geometrien**. Beispiele: - **Sphärische Geometrie**: Auf einer Kugeloberfläche gibt es keine echten Parallelen, da sich alle „Geraden“ (Großkreise) schneiden. - **Hyperbolische Geometrie**: Durch einen Punkt außerhalb einer Geraden verlaufen unendlich viele Parallelen zu dieser Geraden. Diese Geometrien sind genauso logisch und konsistent wie die euklidische Geometrie, nur basieren sie auf anderen Grundannahmen. Sie zeigen, dass Geometrie nicht zwangsläufig an die euklidischen Einschränkungen gebunden ist. Die Wahl der Axiome bestimmt, welche Geometrie entsteht. Mehr dazu findest du z.B. bei [Wikipedia: Nichteuklidische Geometrie](https://de.wikipedia.org/wiki/Nichteuklidische_Geometrie).

Accepted Answer

Deine Aussage ist inhaltlich nicht ganz korrekt und die Begriffe sind teilweise unklar oder nicht standardisiert. Es gibt keine allgemein anerkannte „cohaerentische Geometrie“ in der Mathe... [mehr]

Accepted Answer

Deine Aussage ist inhaltlich nicht ganz korrekt und die Begriffe sind teilweise unklar oder nicht standardisiert. Es gibt keine allgemein anerkannte „cohaerentische Geometrie“ in der Mathematik. Die euklidische Geometrie ist die klassische Geometrie, die sich mit Punkten, Geraden, Kreisen usw. im euklidischen Raum beschäftigt. Wenn du darauf hinauswillst, dass es Geometrien gibt, die nicht nur Geraden und Kreise, sondern auch Parabeln und andere Kurven wie \( y = x^2 \) oder \( y = x^3 \) als „Grundobjekte“ behandeln, dann spricht man eher von analytischer Geometrie oder von algebraischer Geometrie. In diesen Disziplinen werden allgemeine Kurven, die durch Gleichungen beschrieben werden, untersucht. **Zusammengefasst:** - Die euklidische Geometrie arbeitet mit Punkten, Geraden, Kreisen usw. - In der analytischen oder algebraischen Geometrie werden auch Parabeln, Kubiken und andere Kurven betrachtet. - Der Begriff „cohaerentische Geometrie“ ist in der Mathematik nicht gebräuchlich. Falls du auf eine spezielle Theorie oder ein bestimmtes Konzept hinauswillst, wäre eine genauere Begriffserklärung hilfreich.