Wie bestimmt man die Definitionsmenge?

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Wie bestimmt man die Definitionsmenge?

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Wie kann ich eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung verwenden?

Wie lautet die Ableitung von f(x) = ((x-3)(x+2))/((x+1)(x+5))?

Was ist eine Integralfunktion?

Was ist Prozentrechnung?

Welcher Wortschatz ist typisch bei der Laplace-Transformation?

Was ist die Produktregel einfach erklärt?

Welche Funktion hat ein Maximum bei (332.0822, 0.83269) und ein Minimum bei (332.2387, -0.82764) und konvergiert für x gegen unendlich gegen die x-Achse?

Welche Funktion besitzt sowohl ein Minimum als auch ein Maximum und hat auf beiden Seiten eine Asymptote zur x-Achse?

Was ist eine ganzrationale Funktion?

Wie berechnet man das Integral von (ln x)^2 dx?

Accepted Answer

Die Definitionsmenge einer Funktion ist die Menge aller Werte, für die die Funktion definiert ist. Um die Definitionsmenge zu bestimmen, gehst du in der Regel wie folgt vor: 1. **Identifikation der Funktion**: Bestimme die Funktion, für die du die Definitionsmenge finden möchtest. 2. **Überprüfung auf Einschränkungen**: Analysiere die Funktion auf mögliche Einschränkungen: - **Division durch Null**: Wenn die Funktion einen Bruch enthält, stelle sicher, dass der Nenner nicht null wird. - **Wurzel aus negativen Zahlen**: Bei Wurzeln (insbesondere Quadratwurzeln) darf der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ sein. - **Logarithmen**: Der Logarithmus ist nur für positive Werte definiert. 3. **Zusammenstellung der Bedingungen**: Formuliere die Bedingungen, die die Werte erfüllen müssen, um in der Definitionsmenge zu sein. 4. **Bestimmung der Definitionsmenge**: Setze die Bedingungen zusammen, um die Definitionsmenge in Intervallnotation oder als Menge anzugeben. Beispiel: Für die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x-2} \) ist die Definitionsmenge \( D = \mathbb{R} \setminus \{2\} \), da \( x \) nicht 2 sein darf, um eine Division durch Null zu vermeiden.

Accepted Answer

Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitut... [mehr]

Accepted Answer

Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitution“. Zum Beispiel, wenn du die Funktion \( f(x) = x^2 \) hast und sie in die Gleichung \( y = 3 + f(x) \) einbauen möchtest, schreibst du: \( y = 3 + x^2 \) Wenn du eine komplexere Gleichung hast, wie zum Beispiel \( y = 2 \cdot f(x) + 5 \), setzt du ebenfalls die Funktion an die Stelle von \( f(x) \): \( y = 2 \cdot x^2 + 5 \) Falls du eine Funktion in eine andere Funktion einsetzt (Funktionsverkettung), zum Beispiel \( g(x) = \sin(x) \) und \( f(x) = x^2 \), dann ist \( g(f(x)) = \sin(x^2) \). Wenn du ein konkretes Beispiel hast, kann ich dir zeigen, wie du es einsetzt. Generell gilt: Ersetze einfach die Funktionsvariable durch den gewünschten Ausdruck oder die Funktion.

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \[ f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x+5)} \] zu berechnen, verwendest du die Quotientenregel: \[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x... [mehr]

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \[ f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x+5)} \] zu berechnen, verwendest du die Quotientenregel: \[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} \] mit \( u(x) = (x-3)(x+2) \) \( v(x) = (x+1)(x+5) \) Zuerst die Ableitungen berechnen: **1. \( u(x) \) und \( u'(x) \):** \( u(x) = (x-3)(x+2) = x^2 - x - 6 \) \( u'(x) = 2x - 1 \) **2. \( v(x) \) und \( v'(x) \):** \( v(x) = (x+1)(x+5) = x^2 + 6x + 5 \) \( v'(x) = 2x + 6 \) **Jetzt die Quotientenregel anwenden:** \[ f'(x) = \frac{(2x-1)(x^2+6x+5) - (x^2-x-6)(2x+6)}{(x^2+6x+5)^2} \] **Optional: Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen:** 1. \((2x-1)(x^2+6x+5) = 2x^3 + 12x^2 + 10x - x^2 - 6x - 5 = 2x^3 + 11x^2 + 4x - 5\) 2. \((x^2-x-6)(2x+6) = (x^2-x-6)2x + (x^2-x-6)6 = 2x^3 - 2x^2 - 12x + 6x^2 - 6x - 36 = 2x^3 + 4x^2 - 18x - 36\) Jetzt den Zähler zusammenfassen: \[ [2x^3 + 11x^2 + 4x - 5] - [2x^3 + 4x^2 - 18x - 36] = (2x^3 - 2x^3) + (11x^2 - 4x^2) + (4x + 18x) + (-5 + 36) \] \[ = 0x^3 + 7x^2 + 22x + 31 \] **Endergebnis:** \[ \boxed{ f'(x) = \frac{7x^2 + 22x + 31}{(x^2 + 6x + 5)^2} } \]

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Eine Integralfunktion ist eine Funktion, die durch das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion \( f(x) \) entsteht. Genauer gesagt: Ist \( f(x) \) eine Funktion, dann ist eine Integralfunktion \... [mehr]

Accepted Answer

Eine Integralfunktion ist eine Funktion, die durch das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion \( f(x) \) entsteht. Genauer gesagt: Ist \( f(x) \) eine Funktion, dann ist eine Integralfunktion \( F(x) \) eine Funktion, deren Ableitung wieder \( f(x) \) ergibt, also gilt: \[ F'(x) = f(x) \] Die allgemeine Form einer Integralfunktion ist: \[ F(x) = \int f(x) \, dx = \text{Stammfunktion von } f(x) + C \] wobei \( C \) eine beliebige Konstante ist (Integrationskonstante). **Beispiel:** Für \( f(x) = 2x \) ist eine Integralfunktion \( F(x) = x^2 + C \), denn die Ableitung von \( x^2 + C \) ist wieder \( 2x \). Integralfunktionen spielen eine zentrale Rolle in der Analysis, insbesondere bei der Berechnung von Flächen und bei der Lösung von Differentialgleichungen.

Accepted Answer

Es sieht so aus, als wolltest du nach Prozentrechnung fragen. Prozentrechnung ist ein mathematisches Verfahren, um Anteile von einem Ganzen zu berechnen. Hier die wichtigsten Grundlagen: 1. **Prozent... [mehr]

Accepted Answer

Es sieht so aus, als wolltest du nach Prozentrechnung fragen. Prozentrechnung ist ein mathematisches Verfahren, um Anteile von einem Ganzen zu berechnen. Hier die wichtigsten Grundlagen: 1. **Prozent bedeutet "von Hundert"**: 1% = 1 von 100 = 0,01 2. **Grundformel der Prozentrechnung**: Prozentwert = Grundwert × Prozentsatz Beispiel: 20% von 150 = 150 × 0,20 = 30 3. **Begriffe**: - **Grundwert (G)**: Das Ganze, von dem du einen Anteil berechnest - **Prozentsatz (p%)**: Der Anteil in Prozent - **Prozentwert (W)**: Der berechnete Anteil 4. **Umstellen der Formel**: - Prozentwert (W) = Grundwert (G) × Prozentsatz (p%) - Grundwert (G) = Prozentwert (W) ÷ Prozentsatz (p%) - Prozentsatz (p%) = Prozentwert (W) ÷ Grundwert (G) Wenn du ein konkretes Beispiel hast, kann ich dir die Rechnung dazu zeigen.

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Typischer Wortschatz im Zusammenhang mit der Laplace-Transformation umfasst folgende Begriffe: - **Laplace-Transformation**: Integraltransformation, die eine Funktion \( f(t) \) in eine Funktion \( F... [mehr]

Accepted Answer

Typischer Wortschatz im Zusammenhang mit der Laplace-Transformation umfasst folgende Begriffe: - **Laplace-Transformation**: Integraltransformation, die eine Funktion \( f(t) \) in eine Funktion \( F(s) \) im Bildbereich überführt. - **Rücktransformation** (Inverse Laplace-Transformation): Umkehrung der Laplace-Transformation, Rückführung in den Zeitbereich. - **Zeitbereich**: Bereich, in dem die ursprüngliche Funktion \( f(t) \) definiert ist. - **Bildbereich**: Bereich, in dem die transformierte Funktion \( F(s) \) existiert. - **s-Bereich**: Komplexe Variable \( s \) im Bildbereich (\( s = \sigma + j\omega \)). - **Übertragungsfunktion**: Funktion, die das Verhalten eines Systems im Bildbereich beschreibt. - **Pol**: Wert von \( s \), bei dem \( F(s) \) gegen unendlich strebt. - **Nullstelle**: Wert von \( s \), bei dem \( F(s) = 0 \). - **Kausalität**: Eigenschaft, dass eine Funktion nur für \( t \geq 0 \) definiert ist. - **Lineare Differentialgleichung**: Gleichung, die oft mit Hilfe der Laplace-Transformation gelöst wird. - **Anfangsbedingungen**: Startwerte der Funktion und ihrer Ableitungen bei \( t = 0 \). - **Einseitige Laplace-Transformation**: Transformation für \( t \geq 0 \). - **Zweiseitige Laplace-Transformation**: Transformation für \( -\infty < t < \infty \). - **Faltungssatz**: Regel zur Berechnung der Laplace-Transformation des Faltungsintegrals zweier Funktionen. - **Frequenzbereich**: Bereich, in dem die Frequenzkomponenten einer Funktion betrachtet werden. - **Residuensatz**: Methode zur Berechnung der Rücktransformation mittels komplexer Integration. - **Sprungfunktion** (Heaviside-Funktion): Häufig verwendete Funktion als Eingangssignal. - **Impulsfunktion** (Dirac-Delta-Funktion): Idealisierte Funktion zur Modellierung von Impulsen. Diese Begriffe sind grundlegend für das Verständnis und die Anwendung der Laplace-Transformation in Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften.

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Die Produktregel ist eine wichtige Regel in der Differentialrechnung. Sie hilft dir, die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen zu berechnen. Stell dir vor, du hast zwei Funktionen: f(x) und g(... [mehr]

Accepted Answer

Die Produktregel ist eine wichtige Regel in der Differentialrechnung. Sie hilft dir, die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen zu berechnen. Stell dir vor, du hast zwei Funktionen: f(x) und g(x). Du möchtest die Ableitung von f(x) · g(x) berechnen. Die Produktregel sagt: **(f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)** Das bedeutet: Du leitest zuerst die erste Funktion ab und multiplizierst sie mit der zweiten Funktion (so wie sie ist). Dann leitest du die zweite Funktion ab und multiplizierst sie mit der ersten Funktion (so wie sie ist). Am Ende addierst du beide Ergebnisse. **Beispiel:** f(x) = x², g(x) = sin(x) Dann ist die Ableitung: (x² · sin(x))' = 2x · sin(x) + x² · cos(x) So kannst du die Produktregel einfach anwenden!

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Gesucht ist eine Funktion \( f(x) \), die - ein Maximum bei \( (332.0822,\ 0.83269) \), - ein Minimum bei \( (332.2387,\ -0.82764) \) hat, - und für \( x \to \infty \) gegen die x-Achse (also \(... [mehr]

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Gesucht ist eine Funktion \( f(x) \), die - ein Maximum bei \( (332.0822,\ 0.83269) \), - ein Minimum bei \( (332.2387,\ -0.82764) \) hat, - und für \( x \to \infty \) gegen die x-Achse (also \( f(x) \to 0 \)) konvergiert. Eine typische Funktionsform, die solche Eigenschaften aufweist, ist die **gedämpfte Sinusfunktion** oder eine **Gauß-modulierte Sinusfunktion**. Ein Beispiel: \[ f(x) = A \cdot e^{-k(x-x_0)} \cdot \sin(\omega(x-x_0)) \] Hierbei: - \( A \) ist die Amplitude, - \( k \) ist die Dämpfung, - \( x_0 \) ist eine Verschiebung, - \( \omega \) ist die Kreisfrequenz. **Vorgehen zur Bestimmung der Parameter:** 1. **Null-Lage:** Da die Extrema sehr nahe beieinander liegen, ist die Periode klein. Die Funktion schwingt also nur wenig. 2. **Maximum und Minimum:** Die Werte und Abstände der Extrema bestimmen Amplitude und Frequenz. 3. **Asymptotisches Verhalten:** Der Exponentialterm sorgt dafür, dass \( f(x) \to 0 \) für \( x \to \infty \). **Konkretisierung:** Setze \( x_0 = 332.0822 \) (Maximum bei \( x_0 \)), dann ist das Minimum bei \( x_1 = 332.2387 \). Der Abstand zwischen Maximum und Minimum ist: \[ \Delta x = x_1 - x_0 = 332.2387 - 332.0822 = 0.1565 \] Für eine Sinusfunktion liegt das Minimum eine halbe Periode nach dem Maximum, also: \[ \frac{T}{2} = 0.1565 \implies T = 0.313 \] \[ \omega = \frac{2\pi}{T} \approx \frac{2\pi}{0.313} \approx 20.08 \] Die Amplitude ist etwa der Mittelwert der Beträge der Extrema: \[ A \approx \frac{0.83269 + 0.82764}{2} \approx 0.830 \] Die Dämpfung \( k \) muss so gewählt werden, dass die Funktion für große \( x \) gegen 0 geht. Ein kleiner positiver Wert, z.B. \( k = 0.01 \), reicht oft. **Beispielhafte Funktion:** \[ f(x) = 0.830 \cdot e^{-0.01(x-332.0822)} \cdot \sin(20.08(x-332.0822)) \] Diese Funktion hat: - Ein Maximum bei \( x = 332.0822 \) mit ca. 0.83, - Ein Minimum bei \( x = 332.2387 \) mit ca. -0.83, - Und konvergiert für \( x \to \infty \) gegen 0. **Hinweis:** Die Werte sind angenähert. Für exakte Werte müsste man die Gleichungen für Maximum und Minimum exakt lösen. **Weitere Informationen:** - [Sinusfunktion – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus) - [Gedämpfte Schwingung – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Ged%C3%A4mpfte_Schwingung)

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Ein Beispiel für eine Funktion, die ein Minimum und ein Maximum besitzt und auf beiden Seiten (für \( x \to -\infty \) und \( x \to +\infty \)) die x-Achse als Asymptote hat, ist die Funktio... [mehr]

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Ein Beispiel für eine Funktion, die ein Minimum und ein Maximum besitzt und auf beiden Seiten (für \( x \to -\infty \) und \( x \to +\infty \)) die x-Achse als Asymptote hat, ist die Funktion \[ f(x) = \frac{x^3}{1 + x^2} \] **Eigenschaften:** - Für \( x \to \pm\infty \) gilt: \( f(x) \to 0 \) (x-Achse ist Asymptote). - Die Funktion hat ein lokales Maximum und ein lokales Minimum. **Begründung:** - Die Ableitung \( f'(x) = \frac{3x^2(1 + x^2) - 2x^4}{(1 + x^2)^2} \) zeigt, dass es zwei Extremstellen gibt. - Die Funktion ist für alle \( x \) definiert. **Graphische Darstellung:** Du kannst dir den Graphen z.B. bei [Desmos](https://www.desmos.com/calculator) oder [GeoGebra](https://www.geogebra.org/graphing) anschauen, um die Eigenschaften zu überprüfen. **Zusammenfassung:** \[ f(x) = \frac{x^3}{1 + x^2} \] ist eine Funktion mit Minimum, Maximum und der x-Achse als Asymptote auf beiden Seiten.

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Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Das bedeutet, sie hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ Dabei sind a₀, a₁, ..., aₙ reelle Z... [mehr]

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Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Das bedeutet, sie hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ Dabei sind a₀, a₁, ..., aₙ reelle Zahlen (die sogenannten Koeffizienten) und n ist eine natürliche Zahl (der Grad des Polynoms). Die Variable x darf nur mit ganzzahligen, nicht-negativen Exponenten vorkommen. Es gibt keine Brüche, Wurzeln oder andere Funktionen von x. Beispiele für ganzrationale Funktionen: - f(x) = 2x³ - 5x + 7 (Polynom dritten Grades) - f(x) = x² + 4x + 4 (Polynom zweiten Grades) - f(x) = 5 (Polynom nullten Grades) Ganzrationale Funktionen werden auch als Polynomfunktionen bezeichnet.

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Das Integral von \((\ln x)^2\) bezüglich \(x\) kannst du mit partieller Integration berechnen. Hier ist die Schritt-für-Schritt-Lösung: Setze: - \(u = (\ln x)^2\) ⇒ \(du = \frac{2... [mehr]

Accepted Answer

Das Integral von \((\ln x)^2\) bezüglich \(x\) kannst du mit partieller Integration berechnen. Hier ist die Schritt-für-Schritt-Lösung: Setze: - \(u = (\ln x)^2\) ⇒ \(du = \frac{2\ln x}{x} dx\) - \(dv = dx\) ⇒ \(v = x\) Partielle Integration: \[ \int u\,dv = uv - \int v\,du \] Also: \[ \int (\ln x)^2 dx = x(\ln x)^2 - \int x \cdot \frac{2\ln x}{x} dx \] \[ = x(\ln x)^2 - 2\int \ln x\, dx \] Das Integral \(\int \ln x\, dx\) ist bekannt: \[ \int \ln x\, dx = x\ln x - x + C \] Setze das ein: \[ = x(\ln x)^2 - 2[x\ln x - x] + C \] \[ = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C \] **Ergebnis:** \[ \boxed{ \int (\ln x)^2\, dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C } \]