Bestimmen Sie die Funktionalmatrix der Funktion f:R4→R1, f(x)=(cos(x4+x2))?

Question

Bestimmen Sie die Funktionalmatrix der Funktion f:R4→R1, f(x)=(cos(x4+x2))?

Antwort

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Was ist eine Kurvendiskussion?

Wie berechnet man die Winkelneigung bei 1 mm Gegenkathete und 40 mm Ankathete?

Wie lautet die Ableitung von f(x) = ((x-3)(x+2))/((x+1)(x+5))?

Was ist die Produktregel einfach erklärt?

Was ist die Produktregel?

Wie lautet die Ableitung von f(x)=e^(a*x)?

Ist die Funktion g(x) = |x-1| + |x-2| differenzierbar?

-cos(x) abgeleitet?

Accepted Answer

Um die Funktionalmatrix (auch als Jacobi-Matrix bezeichnet) der Funktion \( f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R} \) zu bestimmen, bei der \( f(x) = \cos(x_4 + x_2) \), müssen die partiellen Ableitungen von \( f \) bezüglich jeder Komponente von \( x \) berechnet werden. Sei \( x = (x_1, x_2, x_3, x_4) \). Die Funktionalmatrix \( J_f \) ist eine Zeilenmatrix, da \( f \) eine skalare Funktion ist. Sie hat die Form: \[ J_f = \left[ \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \frac{\partial f}{\partial x_3}, \frac{\partial f}{\partial x_4} \right] \] Nun berechnen wir die partiellen Ableitungen: 1. \(\frac{\partial f}{\partial x_1}\): \[ \frac{\partial}{\partial x_1} \cos(x_4 + x_2) = 0 \] Da \( f \) nicht von \( x_1 \) abhängt. 2. \(\frac{\partial f}{\partial x_2}\): \[ \frac{\partial}{\partial x_2} \cos(x_4 + x_2) = -\sin(x_4 + x_2) \cdot \frac{\partial}{\partial x_2} (x_4 + x_2) = -\sin(x_4 + x_2) \cdot 1 = -\sin(x_4 + x_2) \] 3. \(\frac{\partial f}{\partial x_3}\): \[ \frac{\partial}{\partial x_3} \cos(x_4 + x_2) = 0 \] Da \( f \) nicht von \( x_3 \) abhängt. 4. \(\frac{\partial f}{\partial x_4}\): \[ \frac{\partial}{\partial x_4} \cos(x_4 + x_2) = -\sin(x_4 + x_2) \cdot \frac{\partial}{\partial x_4} (x_4 + x_2) = -\sin(x_4 + x_2) \cdot 1 = -\sin(x_4 + x_2) \] Die Funktionalmatrix \( J_f \) ist daher: \[ J_f = \left[ 0, -\sin(x_4 + x_2), 0, -\sin(x_4 + x_2) \right] \]

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Extremwertaufgaben sind ein zentrales Thema in der Mathematik, insbesondere in der Analysis. Sie beschäftigen sich mit der Frage, wie man den größten oder kleinsten Wert (also ein Maxi... [mehr]

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Extremwertaufgaben sind ein zentrales Thema in der Mathematik, insbesondere in der Analysis. Sie beschäftigen sich mit der Frage, wie man den größten oder kleinsten Wert (also ein Maximum oder Minimum) einer Funktion unter bestimmten Bedingungen findet. **Typischer Ablauf einer Extremwertaufgabe:** 1. **Verständnis des Problems:** Es wird eine Situation beschrieben, in der etwas maximiert oder minimiert werden soll (z.B. maximale Fläche, minimaler Materialverbrauch). 2. **Aufstellen der Zielfunktion:** Du formulierst eine Funktion, die den zu optimierenden Wert beschreibt (z.B. Fläche A(x), Volumen V(x), Kosten K(x)). 3. **Nebenbedingungen berücksichtigen:** Oft gibt es Einschränkungen (z.B. Umfang, Volumen, Budget), die als Gleichung formuliert werden. 4. **Reduktion auf eine Variable:** Mithilfe der Nebenbedingung(en) drückst du die Zielfunktion nur noch durch eine Variable aus. 5. **Ableitung bilden:** Du leitest die Zielfunktion ab, um die Stellen zu finden, an denen sie ein Extremum (Maximum oder Minimum) haben könnte. 6. **Nullstellen der Ableitung berechnen:** Setze die Ableitung gleich Null und löse nach der Variablen auf. Die Lösungen sind die sogenannten kritischen Punkte. 7. **Prüfen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt:** Das kannst du mit der zweiten Ableitung oder durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion prüfen. 8. **Antwort formulieren:** Die gefundene Lösung wird im Kontext der Aufgabe interpretiert. **Beispiel:** Du möchtest ein Rechteck mit maximaler Fläche bauen, wobei der Umfang 20 Meter betragen soll. - Umfang: \( 2x + 2y = 20 \) - Fläche: \( A = x \cdot y \) Mit der Nebenbedingung kannst du z.B. \( y = 10 - x \) setzen und erhältst \( A(x) = x \cdot (10 - x) \). Dann leitest du ab, setzt die Ableitung gleich Null und findest so das Maximum. **Zusammengefasst:** Extremwertaufgaben helfen dir, optimale Lösungen für praktische Probleme zu finden, indem du mathematische Methoden wie Ableitungen und Gleichungen anwendest.

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Eine Kurvendiskussion ist eine systematische Untersuchung des Verlaufs einer mathematischen Funktion, meist einer Funktion f(x). Ziel ist es, möglichst viele Eigenschaften der Funktion zu bestimmen, um ihren Graphen exakt zeichnen zu können. Die wichtigsten Schritte einer Kurvendiskussion sind: 1. **Definitionsbereich bestimmen:** Für welche x-Werte ist die Funktion definiert? 2. **Symmetrie untersuchen:** Ist die Funktion achsensymmetrisch (gerade), punktsymmetrisch (ungerade) oder hat sie keine Symmetrie? 3. **Nullstellen berechnen:** Für welche x gilt f(x) = 0? 4. **Verhalten im Unendlichen (Grenzwerte):** Wie verhält sich die Funktion für sehr große oder sehr kleine x-Werte? 5. **Ableitungen berechnen:** - **1. Ableitung:** Gibt die Steigung an. - **2. Ableitung:** Gibt die Krümmung an. 6. **Extremstellen bestimmen:** Wo hat die Funktion Hochpunkte, Tiefpunkte oder Sattelpunkte? (Dazu setzt man die 1. Ableitung gleich Null und prüft mit der 2. Ableitung.) 7. **Wendepunkte bestimmen:** Wo ändert sich die Krümmung? (Dazu setzt man die 2. Ableitung gleich Null und prüft mit der 3. Ableitung.) 8. **Verhalten an besonderen Stellen:** Gibt es Asymptoten, Polstellen oder Unstetigkeiten? 9. **Graph zeichnen:** Mit allen gewonnenen Informationen kann der Funktionsgraph möglichst genau gezeichnet werden. Jeder dieser Schritte hilft, die Funktion besser zu verstehen und ihren Verlauf zu beschreiben.

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Um die Winkelneigung (den Winkel α) zu berechnen, wenn die Gegenkathete 1 mm und die Ankathete 40 mm beträgt, verwendest du die Tangens-Funktion: \[ \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete... [mehr]

Accepted Answer

Um die Winkelneigung (den Winkel α) zu berechnen, wenn die Gegenkathete 1 mm und die Ankathete 40 mm beträgt, verwendest du die Tangens-Funktion: \[ \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{1}{40} \] Um den Winkel zu berechnen, benötigst du den Arkustangens (arctan oder tan⁻¹): \[ \alpha = \arctan\left(\frac{1}{40}\right) \] Das ergibt: \[ \alpha \approx \arctan(0{,}025) \approx 1{,}432^\circ \] **Antwort:** Die Winkelneigung beträgt etwa **1,43 Grad**.

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Um die Ableitung der Funktion \[ f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x+5)} \] zu berechnen, verwendest du die Quotientenregel: \[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x... [mehr]

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \[ f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x+5)} \] zu berechnen, verwendest du die Quotientenregel: \[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} \] mit \( u(x) = (x-3)(x+2) \) \( v(x) = (x+1)(x+5) \) Zuerst die Ableitungen berechnen: **1. \( u(x) \) und \( u'(x) \):** \( u(x) = (x-3)(x+2) = x^2 - x - 6 \) \( u'(x) = 2x - 1 \) **2. \( v(x) \) und \( v'(x) \):** \( v(x) = (x+1)(x+5) = x^2 + 6x + 5 \) \( v'(x) = 2x + 6 \) **Jetzt die Quotientenregel anwenden:** \[ f'(x) = \frac{(2x-1)(x^2+6x+5) - (x^2-x-6)(2x+6)}{(x^2+6x+5)^2} \] **Optional: Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen:** 1. \((2x-1)(x^2+6x+5) = 2x^3 + 12x^2 + 10x - x^2 - 6x - 5 = 2x^3 + 11x^2 + 4x - 5\) 2. \((x^2-x-6)(2x+6) = (x^2-x-6)2x + (x^2-x-6)6 = 2x^3 - 2x^2 - 12x + 6x^2 - 6x - 36 = 2x^3 + 4x^2 - 18x - 36\) Jetzt den Zähler zusammenfassen: \[ [2x^3 + 11x^2 + 4x - 5] - [2x^3 + 4x^2 - 18x - 36] = (2x^3 - 2x^3) + (11x^2 - 4x^2) + (4x + 18x) + (-5 + 36) \] \[ = 0x^3 + 7x^2 + 22x + 31 \] **Endergebnis:** \[ \boxed{ f'(x) = \frac{7x^2 + 22x + 31}{(x^2 + 6x + 5)^2} } \]

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Accepted Answer

Die Produktregel ist eine wichtige Regel in der Differentialrechnung. Sie hilft dir, die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen zu berechnen. Stell dir vor, du hast zwei Funktionen: f(x) und g(x). Du möchtest die Ableitung von f(x) · g(x) berechnen. Die Produktregel sagt: **(f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)** Das bedeutet: Du leitest zuerst die erste Funktion ab und multiplizierst sie mit der zweiten Funktion (so wie sie ist). Dann leitest du die zweite Funktion ab und multiplizierst sie mit der ersten Funktion (so wie sie ist). Am Ende addierst du beide Ergebnisse. **Beispiel:** f(x) = x², g(x) = sin(x) Dann ist die Ableitung: (x² · sin(x))' = 2x · sin(x) + x² · cos(x) So kannst du die Produktregel einfach anwenden!

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Die Produktregel ist eine wichtige Ableitungsregel in der Differentialrechnung. Sie wird verwendet, wenn du die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen berechnen möchtest. Angenommen, du hast... [mehr]

Accepted Answer

Die Produktregel ist eine wichtige Ableitungsregel in der Differentialrechnung. Sie wird verwendet, wenn du die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen berechnen möchtest. Angenommen, du hast zwei Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \). Das Produkt dieser beiden Funktionen ist \( h(x) = f(x) \cdot g(x) \). Die Produktregel besagt: \[ h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \] Das bedeutet: Die Ableitung des Produkts ist gleich der Ableitung der ersten Funktion mal der zweiten Funktion, plus die erste Funktion mal der Ableitung der zweiten Funktion. **Beispiel:** Sei \( f(x) = x^2 \) und \( g(x) = \sin(x) \). Dann ist \( h(x) = x^2 \cdot \sin(x) \). Die Ableitungen sind: - \( f'(x) = 2x \) - \( g'(x) = \cos(x) \) Nach der Produktregel: \[ h'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x) \] So kannst du die Produktregel anwenden, um die Ableitung eines Produkts zu berechnen.

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Die Ableitung der Funktion \( f(x) = e^{a \cdot x} \) nach \( x \) ist: \[ f'(x) = a \cdot e^{a \cdot x} \] Dabei ist \( a \) eine Konstante.

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Die Ableitung der Funktion \( f(x) = e^{a \cdot x} \) nach \( x \) ist: \[ f'(x) = a \cdot e^{a \cdot x} \] Dabei ist \( a \) eine Konstante.

Kategorie: Mathematik Tags: Ableitung Exponentialfunktion Mathematik

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Die Funktion \( g(x) = |x-1| + |x-2| \) ist **nicht überall differenzierbar**. **Begründung:** Der Ausdruck \( |x-a| \) ist an der Stelle \( x = a \) **nicht differenzierbar**, da dort ein... [mehr]

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Die Funktion \( g(x) = |x-1| + |x-2| \) ist **nicht überall differenzierbar**. **Begründung:** Der Ausdruck \( |x-a| \) ist an der Stelle \( x = a \) **nicht differenzierbar**, da dort ein "Knick" im Graphen ist. In deinem Fall gibt es zwei solche Stellen: bei \( x = 1 \) und bei \( x = 2 \). **Im Detail:** - Für \( x < 1 \): \( g(x) = (1-x) + (2-x) = 3 - 2x \) - Für \( 1 \leq x < 2 \): \( g(x) = (x-1) + (2-x) = 1 \) - Für \( x \geq 2 \): \( g(x) = (x-1) + (x-2) = 2x - 3 \) **Ableitungen:** - Für \( x < 1 \): \( g'(x) = -2 \) - Für \( 1 < x < 2 \): \( g'(x) = 0 \) - Für \( x > 2 \): \( g'(x) = 2 \) **An den Stellen \( x = 1 \) und \( x = 2 \):** - Bei \( x = 1 \): Linksseitige Ableitung ist \(-2\), rechtsseitige ist \(0\) ⇒ **nicht differenzierbar** - Bei \( x = 2 \): Linksseitige Ableitung ist \(0\), rechtsseitige ist \(2\) ⇒ **nicht differenzierbar** **Fazit:** \( g(x) \) ist **differenzierbar für alle \( x \) außer bei \( x = 1 \) und \( x = 2 \)**. An diesen beiden Stellen ist die Funktion **nicht differenzierbar**.

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Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\c... [mehr]

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Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -(-\sin(x)) = \sin(x) \]