1 Frage zu Funktionalmatrix

Um die Funktionalmatrix (auch als Jacobi-Matrix bezeichnet) der Funktion \( f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R} \) zu bestimmen, bei der \( f(x) = \cos(x_4 + x_2) \), müssen die partiellen Ableitungen von \( f \) bezüglich jeder Komponente von \( x \) berechnet werden. Sei \( x = (x_1, x_2, x_3, x_4) \). Die Funktionalmatrix \( J_f \) ist eine Zeilenmatrix, da \( f \) eine skalare Funktion ist. Sie hat die Form: \[ J_f = \left[ \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \frac{\partial f}{\partial x_3}, \frac{\partial f}{\partial x_4} \right] \] Nun berechnen wir die partiellen Ableitungen: 1. \(\frac{\partial f}{\partial x_1}\): \[ \frac{\partial}{\partial x_1} \cos(x_4 + x_2) = 0 \] Da \( f \) nicht von \( x_1 \) abhängt. 2. \(\frac{\partial f}{\partial x_2}\): \[ \frac{\partial}{\partial x_2} \cos(x_4 + x_2) = -\sin(x_4 + x_2) \cdot \frac{\partial}{\partial x_2} (x_4 + x_2) = -\sin(x_4 + x_2) \cdot 1 = -\sin(x_4 + x_2) \] 3. \(\frac{\partial f}{\partial x_3}\): \[ \frac{\partial}{\partial x_3} \cos(x_4 + x_2) = 0 \] Da \( f \) nicht von \( x_3 \) abhängt. 4. \(\frac{\partial f}{\partial x_4}\): \[ \frac{\partial}{\partial x_4} \cos(x_4 + x_2) = -\sin(x_4 + x_2) \cdot \frac{\partial}{\partial x_4} (x_4 + x_2) = -\sin(x_4 + x_2) \cdot 1 = -\sin(x_4 + x_2) \] Die Funktionalmatrix \( J_f \) ist daher: \[ J_f = \left[ 0, -\sin(x_4 + x_2), 0, -\sin(x_4 + x_2) \right] \]