Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Gibt es eine Funktion, die nur im Nullpunkt stetig ist?
Antwort vomJa, es gibt eine solche Funktion. Ein Beispiel ist die Funktion \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definiert durch: \[ g(x) = \begin{cases} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text{für } x \neq 0, \\ 0 & \text{für } x = 0. \end{cases} \] Diese Funktion ist im Nullpunkt differenzierbar und damit auch stetig, aber sie ist in keinem anderen Punkt stetig. Um dies zu zeigen: 1. **Stetigkeit im Nullpunkt:** \[ \lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 = g(0). \] Da der Grenzwert von \( g(x) \) bei \( x \to 0 \) gleich dem Funktionswert \( g(0) \) ist, ist \( g \) im Nullpunkt stetig. 2. **Differenzierbarkeit im Nullpunkt:** Der Differenzenquotient für \( g \) im Nullpunkt ist: \[ \lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin\left(\frac{1}{h}\right)}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right). \] Da \( \sin\left(\frac{1}{h}\right) \) zwischen -1 und 1 schwankt, ergibt sich: \[ -|h| \leq h \sin\left(\frac{1}{h}\right) \leq |h|. \] Da \( \lim_{h \to 0} |h| = 0 \), folgt aus dem Sandwich-Theorem: \[ \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 0. \] Somit ist \( g \) im Nullpunkt differenzierbar mit \( g'(0) = 0 \). 3. **Unstetigkeit an anderen Punkten:** Für \( x \neq 0 \) oszilliert \( \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) unbeschränkt zwischen -1 und 1, was bedeutet, dass \( g(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) keine eindeutigen Grenzwerte hat, wenn man sich \( x \) nähert. Daher ist \( g \) in keinem anderen Punkt stetig. Diese Funktion erfüllt also die Bedingungen: Sie ist im Nullpunkt differenzierbar und damit auch stetig, aber in keinem anderen Punkt stetig.
Verwandte Fragen
Wie berechnet man die Ableitung von f(x) = 2,5 · (1 - e^(0,1x))?
Für f(t) = 2,5 · (1 - e^(0,1t)) ist die Ableitung: f'(t) = 2,5 · ( -0,1 · e^(0,1t) ) also vereinfacht: f'(t) = -0,25 · e^(0,1t) Ergebnis: f'(t) =...
Fläche unter f(x)=sin(x)+2 im Intervall von -π bis 1 berechnen
Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(f(x)=\sin(x)+2\), der \(x\)-Achse und den Grenzen \(x=-\pi\) bis \(x=1\). Da \(f(x)=\sin(x)+2 > 0\), ist die Fläche: \[ A=\int{...
Berechne die Ableitung f'(x) von f(x) = (x-1)^2.
Gegeben \(f(x)=(x-1)^2\). Ableiten (Kettenregel): \[ f'(x)=2(x-1)\cdot 1=2(x-1)=2x-2. \]
Wie rechnet man y = f(x) in x = f(y) um?
Um aus \(y=f(x)\) eine Darstellung \(x=f(y)\) zu machen, löst man die Gleichung nach \(x\) auf und ersetzt danach (falls gewünscht) die Variable \(y\) wieder durch \(x\). Das ist genau das B...
Was bedeutet es, wenn es Funktionen von einer zweielementigen Menge auf eine andere zweielementige Menge gibt?
Die Aussage „Es gibt Funktionen von einer zweielementigen Menge auf eine andere zweielementige Menge“ bedeutet Folgendes: Du hast zwei Mengen, nennen wir sie \( A \) und \( B \), und beide...
Was ist die Umkehrfunktion von -x?
Die Umkehrfunktion (Inverse) von \( f(x) = -x \) ist ebenfalls \( f^{-1}(x) = -x \).
Was ist eine Umkehrfunktion?
Die Umkehrfunktion (auch Inverse Funktion genannt) ist eine Funktion, die die Wirkung einer anderen Funktion rückgängig macht. Wenn du eine Funktion \( f \) hast, die einen Wert \( x \) auf...
Was ist die Heaviside-Funktion von x+5?
Die Hauptwertfunktion (oft als „hr-Funktion“ abgekürzt) eines Ausdrucks wie \( x+5 \) ist einfach die Funktion selbst, da es sich um eine lineare Funktion handelt. Die Funktionsvorsc...
Was ist eine Kurvendiskussion?
Eine Kurvendiskussion ist eine systematische Untersuchung des Verlaufs einer mathematischen Funktion, meist einer Funktion f(x). Ziel ist es, möglichst viele Eigenschaften der Funktion zu bestimm...
