Gibt es eine Funktion, die nur im Nullpunkt stetig ist?

Ja, es gibt eine solche Funktion. Ein Beispiel ist die Funktion \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definiert durch:

\[ g(x) =
\begin{cases}
x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text{für } x \neq 0, \\
0 & \text{für } x = 0.
\end{cases}
\]

Diese Funktion ist im Nullpunkt differenzierbar und damit auch stetig, aber sie ist in keinem anderen Punkt stetig.

Um dies zu zeigen:

1. **Stetigkeit im Nullpunkt:**
\[ \lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 = g(0). \]
Da der Grenzwert von \( g(x) \) bei \( x \to 0 \) gleich dem Funktionswert \( g(0) \) ist, ist \( g \) im Nullpunkt stetig.

2. **Differenzierbarkeit im Nullpunkt:**
Der Differenzenquotient für \( g \) im Nullpunkt ist:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin\left(\frac{1}{h}\right)}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right). \]
Da \( \sin\left(\frac{1}{h}\right) \) zwischen -1 und 1 schwankt, ergibt sich:
\[ -|h| \leq h \sin\left(\frac{1}{h}\right) \leq |h|. \]
Da \( \lim_{h \to 0} |h| = 0 \), folgt aus dem Sandwich-Theorem:
\[ \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 0. \]
Somit ist \( g \) im Nullpunkt differenzierbar mit \( g'(0) = 0 \).

3. **Unstetigkeit an anderen Punkten:**
Für \( x \neq 0 \) oszilliert \( \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) unbeschränkt zwischen -1 und 1, was bedeutet, dass \( g(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) keine eindeutigen Grenzwerte hat, wenn man sich \( x \) nähert. Daher ist \( g \) in keinem anderen Punkt stetig.

Diese Funktion erfüllt also die Bedingungen: Sie ist im Nullpunkt differenzierbar und damit auch stetig, aber in keinem anderen Punkt stetig.