Erklärung der Schritte zur Stetigkeit von Funktionen.

Question

Erklärung der Schritte zur Stetigkeit von Funktionen.

Antwort

Verwandte Fragen

Welcher Wortschatz ist typisch bei der Laplace-Transformation?

Was ist die Produktregel einfach erklärt?

Welche Funktion hat ein Maximum bei (332.0822, 0.83269) und ein Minimum bei (332.2387, -0.82764) und konvergiert für x gegen unendlich gegen die x-Achse?

Welche Funktion besitzt sowohl ein Minimum als auch ein Maximum und hat auf beiden Seiten eine Asymptote zur x-Achse?

Was ist eine ganzrationale Funktion?

Wie lautet die erste Ableitung der Quadratwurzel von x?

Durch welche Operationen wird eine Funktion f(x) entlang der x-Achse gestaucht oder gestreckt?

Was sind die Nullstellen von f(x) = (x - 2,5)² + 1?

Nullstelle von h(x) = x² - 1,5?

Accepted Answer

Die Schritte beziehen sich auf die mathematische Definition der Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt. Hier ist eine Erklärung der einzelnen Schritte: 1. **Definition der Stetigkeit**: Eine Funktion \( f(x) \) ist an einem Punkt \( a \) stetig, wenn sie an diesem Punkt keine Sprünge oder Unterbrechungen aufweist. Formal bedeutet dies, dass die Funktion an diesem Punkt definiert ist und sich das Verhalten der Funktion in der Nähe von \( a \) mit dem Wert der Funktion an \( a \) deckt. 2. **Der Grenzwert \( \lim_{x \to a} f(x) \) existiert**: Dies bedeutet, dass, wenn man sich dem Punkt \( a \) von beiden Seiten (links und rechts) nähert, die Funktionswerte \( f(x) \) sich einem bestimmten Wert annähern. Der Grenzwert muss also einen eindeutigen Wert haben, wenn \( x \) gegen \( a \) strebt. 3. **\( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \)**: Dieser Schritt besagt, dass der Grenzwert der Funktion, wenn man sich dem Punkt \( a \) nähert, gleich dem Funktionswert an diesem Punkt ist. Das bedeutet, dass die Funktion an diesem Punkt nicht nur einen Grenzwert hat, sondern dass dieser Grenzwert auch dem tatsächlichen Wert der Funktion an \( a \) entspricht. Zusammengefasst: Eine Funktion ist an einem Punkt stetig, wenn der Grenzwert der Funktion an diesem Punkt existiert und gleich dem Funktionswert an diesem Punkt ist.

Accepted Answer

Typischer Wortschatz im Zusammenhang mit der Laplace-Transformation umfasst folgende Begriffe: - **Laplace-Transformation**: Integraltransformation, die eine Funktion \( f(t) \) in eine Funktion \( F... [mehr]

Accepted Answer

Typischer Wortschatz im Zusammenhang mit der Laplace-Transformation umfasst folgende Begriffe: - **Laplace-Transformation**: Integraltransformation, die eine Funktion \( f(t) \) in eine Funktion \( F(s) \) im Bildbereich überführt. - **Rücktransformation** (Inverse Laplace-Transformation): Umkehrung der Laplace-Transformation, Rückführung in den Zeitbereich. - **Zeitbereich**: Bereich, in dem die ursprüngliche Funktion \( f(t) \) definiert ist. - **Bildbereich**: Bereich, in dem die transformierte Funktion \( F(s) \) existiert. - **s-Bereich**: Komplexe Variable \( s \) im Bildbereich (\( s = \sigma + j\omega \)). - **Übertragungsfunktion**: Funktion, die das Verhalten eines Systems im Bildbereich beschreibt. - **Pol**: Wert von \( s \), bei dem \( F(s) \) gegen unendlich strebt. - **Nullstelle**: Wert von \( s \), bei dem \( F(s) = 0 \). - **Kausalität**: Eigenschaft, dass eine Funktion nur für \( t \geq 0 \) definiert ist. - **Lineare Differentialgleichung**: Gleichung, die oft mit Hilfe der Laplace-Transformation gelöst wird. - **Anfangsbedingungen**: Startwerte der Funktion und ihrer Ableitungen bei \( t = 0 \). - **Einseitige Laplace-Transformation**: Transformation für \( t \geq 0 \). - **Zweiseitige Laplace-Transformation**: Transformation für \( -\infty < t < \infty \). - **Faltungssatz**: Regel zur Berechnung der Laplace-Transformation des Faltungsintegrals zweier Funktionen. - **Frequenzbereich**: Bereich, in dem die Frequenzkomponenten einer Funktion betrachtet werden. - **Residuensatz**: Methode zur Berechnung der Rücktransformation mittels komplexer Integration. - **Sprungfunktion** (Heaviside-Funktion): Häufig verwendete Funktion als Eingangssignal. - **Impulsfunktion** (Dirac-Delta-Funktion): Idealisierte Funktion zur Modellierung von Impulsen. Diese Begriffe sind grundlegend für das Verständnis und die Anwendung der Laplace-Transformation in Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften.

Accepted Answer

Die Produktregel ist eine wichtige Regel in der Differentialrechnung. Sie hilft dir, die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen zu berechnen. Stell dir vor, du hast zwei Funktionen: f(x) und g(... [mehr]

Accepted Answer

Die Produktregel ist eine wichtige Regel in der Differentialrechnung. Sie hilft dir, die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen zu berechnen. Stell dir vor, du hast zwei Funktionen: f(x) und g(x). Du möchtest die Ableitung von f(x) · g(x) berechnen. Die Produktregel sagt: **(f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)** Das bedeutet: Du leitest zuerst die erste Funktion ab und multiplizierst sie mit der zweiten Funktion (so wie sie ist). Dann leitest du die zweite Funktion ab und multiplizierst sie mit der ersten Funktion (so wie sie ist). Am Ende addierst du beide Ergebnisse. **Beispiel:** f(x) = x², g(x) = sin(x) Dann ist die Ableitung: (x² · sin(x))' = 2x · sin(x) + x² · cos(x) So kannst du die Produktregel einfach anwenden!

Accepted Answer

Gesucht ist eine Funktion \( f(x) \), die - ein Maximum bei \( (332.0822,\ 0.83269) \), - ein Minimum bei \( (332.2387,\ -0.82764) \) hat, - und für \( x \to \infty \) gegen die x-Achse (also \(... [mehr]

Accepted Answer

Gesucht ist eine Funktion \( f(x) \), die - ein Maximum bei \( (332.0822,\ 0.83269) \), - ein Minimum bei \( (332.2387,\ -0.82764) \) hat, - und für \( x \to \infty \) gegen die x-Achse (also \( f(x) \to 0 \)) konvergiert. Eine typische Funktionsform, die solche Eigenschaften aufweist, ist die **gedämpfte Sinusfunktion** oder eine **Gauß-modulierte Sinusfunktion**. Ein Beispiel: \[ f(x) = A \cdot e^{-k(x-x_0)} \cdot \sin(\omega(x-x_0)) \] Hierbei: - \( A \) ist die Amplitude, - \( k \) ist die Dämpfung, - \( x_0 \) ist eine Verschiebung, - \( \omega \) ist die Kreisfrequenz. **Vorgehen zur Bestimmung der Parameter:** 1. **Null-Lage:** Da die Extrema sehr nahe beieinander liegen, ist die Periode klein. Die Funktion schwingt also nur wenig. 2. **Maximum und Minimum:** Die Werte und Abstände der Extrema bestimmen Amplitude und Frequenz. 3. **Asymptotisches Verhalten:** Der Exponentialterm sorgt dafür, dass \( f(x) \to 0 \) für \( x \to \infty \). **Konkretisierung:** Setze \( x_0 = 332.0822 \) (Maximum bei \( x_0 \)), dann ist das Minimum bei \( x_1 = 332.2387 \). Der Abstand zwischen Maximum und Minimum ist: \[ \Delta x = x_1 - x_0 = 332.2387 - 332.0822 = 0.1565 \] Für eine Sinusfunktion liegt das Minimum eine halbe Periode nach dem Maximum, also: \[ \frac{T}{2} = 0.1565 \implies T = 0.313 \] \[ \omega = \frac{2\pi}{T} \approx \frac{2\pi}{0.313} \approx 20.08 \] Die Amplitude ist etwa der Mittelwert der Beträge der Extrema: \[ A \approx \frac{0.83269 + 0.82764}{2} \approx 0.830 \] Die Dämpfung \( k \) muss so gewählt werden, dass die Funktion für große \( x \) gegen 0 geht. Ein kleiner positiver Wert, z.B. \( k = 0.01 \), reicht oft. **Beispielhafte Funktion:** \[ f(x) = 0.830 \cdot e^{-0.01(x-332.0822)} \cdot \sin(20.08(x-332.0822)) \] Diese Funktion hat: - Ein Maximum bei \( x = 332.0822 \) mit ca. 0.83, - Ein Minimum bei \( x = 332.2387 \) mit ca. -0.83, - Und konvergiert für \( x \to \infty \) gegen 0. **Hinweis:** Die Werte sind angenähert. Für exakte Werte müsste man die Gleichungen für Maximum und Minimum exakt lösen. **Weitere Informationen:** - [Sinusfunktion – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus) - [Gedämpfte Schwingung – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Ged%C3%A4mpfte_Schwingung)

Accepted Answer

Ein Beispiel für eine Funktion, die ein Minimum und ein Maximum besitzt und auf beiden Seiten (für \( x \to -\infty \) und \( x \to +\infty \)) die x-Achse als Asymptote hat, ist die Funktio... [mehr]

Accepted Answer

Ein Beispiel für eine Funktion, die ein Minimum und ein Maximum besitzt und auf beiden Seiten (für \( x \to -\infty \) und \( x \to +\infty \)) die x-Achse als Asymptote hat, ist die Funktion \[ f(x) = \frac{x^3}{1 + x^2} \] **Eigenschaften:** - Für \( x \to \pm\infty \) gilt: \( f(x) \to 0 \) (x-Achse ist Asymptote). - Die Funktion hat ein lokales Maximum und ein lokales Minimum. **Begründung:** - Die Ableitung \( f'(x) = \frac{3x^2(1 + x^2) - 2x^4}{(1 + x^2)^2} \) zeigt, dass es zwei Extremstellen gibt. - Die Funktion ist für alle \( x \) definiert. **Graphische Darstellung:** Du kannst dir den Graphen z.B. bei [Desmos](https://www.desmos.com/calculator) oder [GeoGebra](https://www.geogebra.org/graphing) anschauen, um die Eigenschaften zu überprüfen. **Zusammenfassung:** \[ f(x) = \frac{x^3}{1 + x^2} \] ist eine Funktion mit Minimum, Maximum und der x-Achse als Asymptote auf beiden Seiten.

Accepted Answer

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Das bedeutet, sie hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ Dabei sind a₀, a₁, ..., aₙ reelle Z... [mehr]

Accepted Answer

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Das bedeutet, sie hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ Dabei sind a₀, a₁, ..., aₙ reelle Zahlen (die sogenannten Koeffizienten) und n ist eine natürliche Zahl (der Grad des Polynoms). Die Variable x darf nur mit ganzzahligen, nicht-negativen Exponenten vorkommen. Es gibt keine Brüche, Wurzeln oder andere Funktionen von x. Beispiele für ganzrationale Funktionen: - f(x) = 2x³ - 5x + 7 (Polynom dritten Grades) - f(x) = x² + 4x + 4 (Polynom zweiten Grades) - f(x) = 5 (Polynom nullten Grades) Ganzrationale Funktionen werden auch als Polynomfunktionen bezeichnet.

Accepted Answer

Die zweite Wurzel von \( x \) ist gleich \( \sqrt{x} \) oder \( x^{1/2} \). Die erste Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] **A... [mehr]

Accepted Answer

Die zweite Wurzel von \( x \) ist gleich \( \sqrt{x} \) oder \( x^{1/2} \). Die erste Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] **Antwort:** Die erste Ableitung von \( \sqrt{x} \) ist \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

Accepted Answer

Eine Funktion \( f(x) \) wird längs der x-Achse gestaucht oder gestreckt, indem du das Argument der Funktion mit einem Faktor \( a \) multiplizierst: - **Streckung entlang der x-Achse:** \(... [mehr]

Accepted Answer

Eine Funktion \( f(x) \) wird längs der x-Achse gestaucht oder gestreckt, indem du das Argument der Funktion mit einem Faktor \( a \) multiplizierst: - **Streckung entlang der x-Achse:** \( f\left(\frac{x}{a}\right) \) mit \( |a| > 1 \) Die Funktion wird um den Faktor \( a \) in x-Richtung gestreckt. - **Stauchung entlang der x-Achse:** \( f\left(\frac{x}{a}\right) \) mit \( 0 < |a| < 1 \) Die Funktion wird um den Faktor \( a \) in x-Richtung gestaucht. **Merke:** Multiplizierst du das \( x \) im Argument von \( f \) mit einem Wert größer als 1, wird die Funktion gestaucht; teilst du durch einen Wert größer als 1 (bzw. multiplizierst mit einem Wert zwischen 0 und 1), wird sie gestreckt.

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -1 \] Da der Ausdruck \((x - 2.5)^2\) immer größer oder gleich null ist (da es sich um ein Quadrat handelt), kann er niemals gleich \(-1\) sein. Daher hat die Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) keine Nullstellen.

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadra... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \[ x = \pm \sqrt{1,5} \] Die Nullstellen sind also: \[ x = \sqrt{1,5} \quad \text{und} \quad x = -\sqrt{1,5} \] Das ergibt die ungefähren Werte: \[ x \approx 1,22 \quad \text{und} \quad x \approx -1,22 \] Somit sind die Nullstellen von \( h(x) \) bei \( x \approx 1,22 \) und \( x \approx -1,22 \).