Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Berechne die Nullstellen des Polynoms x^3 + 2x^2 - 5x - 6.
Antwort vomUm die Nullstellen des Polynoms \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \) mit der Polynomdivision zu berechnen, müssen wir zunächst einen möglichen Nullstellenwert finden. Wir können die Rationalen Wurzelsätze verwenden, um mögliche rationale Nullstellen zu testen. Die möglichen rationalen Nullstellen sind die Teiler des konstanten Terms (-6) geteilt durch die Teiler des führenden Koeffizienten (1). Die möglichen rationalen Nullstellen sind also: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \). Wir testen diese Werte: 1. **Testen von \( x = -2 \)**: \[ f(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 5(-2) - = -8 + 8 + 10 - 6 = 4 \quad (\text{nicht eine Nullstelle}) \] 2. **Testen von \( x = -3 \)**: \[ f(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 - 5(-3) - 6 = -27 + 18 + 15 - 6 = 0 \quad (\text{eine Nullstelle}) \] Da \( x = -3 \) eine Nullstelle ist, führen wir die Polynomdivision von \( f(x) \) durch \( x + 3 \) durch. **Polynomdivision**: 1. Teile den ersten Term: \( x^3 \div x = x^2 \). 2. Multipliziere \( x^2 \) mit \( x + 3 \): \( x^2(x + 3) = x^3 + 3x^2 \). 3. Subtrahiere: \[ (x^3 + 2x^2 - 5x - 6) - (x^3 + 3x^2) = -x^2 - 5x - 6 \] 4. Teile den nächsten Term: \( -x^2 \div x = -x \). 5. Multipliziere \( -x \) mit \( x + 3 \): \( -x(x + 3) = -x^2 - 3x \). 6. Subtrahiere: \[ (-x^2 - 5x - 6) - (-x^2 - 3x) = -2x - 6 \] 7. Teile den nächsten Term: \( -2x \div x = -2 \). 8. Multipliziere \( -2 \) mit \( x + 3 \): \( -2(x + 3) = -2x - 6 \). 9. Subtrahiere: \[ (-2x - 6) - (-2x - 6) = 0 \] Das Ergebnis der Polynomdivision ist: \[ f(x) = (x + 3)(x^2 - x - 2) \] Nun müssen wir die Nullstellen des quadratischen Faktors \( x^2 - x - 2 \) finden. Wir setzen die Gleichung gleich null: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Diese Gleichung kann durch Faktorisierung gelöst werden: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] Die Nullstellen sind: \[ x = 2 \quad \text{und} \quad x = -1 \] Zusammenfassend sind die Nullstellen des Polynoms \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \): \[ x = -3, \quad x = 2, \quad x = -1 \]
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