10 Fragen zu Polynomdivision

Die Polynomdivision und die Tangentensteigungsfunktion sind zwei verschiedene mathematische Konzepte. Hier eine kurze Erklärung zu beiden: 1. **Polynomdivision**: Die Polynomdivision ist ein Verfahren, um ein Polynom durch ein anderes Polynom zu teilen. Es ähnelt der schriftlichen Division von Zahlen. Hier sind die Schritte zur Durchführung einer Polynomdivision: - Schreibe das Dividend-Polynom und das Divisor-Polynom auf. - Bestimme den ersten Term des Quotienten, indem du den höchsten Term des Dividenden durch den höchsten Term des Divisors teilst. - Multipliziere den gesamten Divisor mit diesem Term und subtrahiere das Ergebnis vom Dividenden. - Wiederhole den Vorgang mit dem neuen Polynom, das nach der Subtraktion entsteht, bis der Grad des verbleibenden Polynoms kleiner ist als der Grad des Divisors. Ein Beispiel: \[ \frac{x^3 - 6x^2 + 11x - 6}{x - 2} \] Der Quotient ist \(x^2 - 4x + 3\) und der Rest ist 0. 2. **Tangentensteigungsfunktion**: Die Tangentensteigungsfunktion beschreibt die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt einer Funktion. Diese Steigung wird durch die Ableitung der Funktion an diesem Punkt gegeben. - Wenn \(f(x)\) eine Funktion ist, dann ist die Ableitung \(f'(x)\) die Funktion, die die Steigung der Tangente an jedem Punkt \(x\) von \(f(x)\) angibt. - Um die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt \(x = a\) zu finden, berechne \(f'(a)\). Ein Beispiel: Wenn \(f(x) = x^2\), dann ist die Ableitung \(f'(x) = 2x\). Die Steigung der Tangente an der Stelle \(x = 3\) ist \(f'(3) = 2 \cdot 3 = 6\). Diese beiden Konzepte sind grundlegend in der Algebra und der Analysis und werden häufig in verschiedenen mathematischen Anwendungen verwendet.

Die Polynomdivision wird eingesetzt, um Polynomfunktionen zu dividieren, insbesondere wenn du einen Bruch von zwei Polynomen vereinfachen möchtest. Hier sind einige typische Anwendungsfälle: 1. **Faktorisierung von Polynomen**: Um ein Polynom in seine Faktoren zu zerlegen, kann die Polynomdivision verwendet werden, um mögliche Nullstellen zu überprüfen und das Polynom in Linearfaktoren zu zerlegen. 2. **Bestimmung von Nullstellen**: Wenn du eine Nullstelle eines Polynoms kennst, kannst du die Polynomdivision verwenden, um das Polynom durch den entsprechenden Linearfaktor zu teilen und so ein Polynom mit einem Grad weniger zu erhalten. Dies erleichtert die weitere Nullstellensuche. 3. **Partialbruchzerlegung**: Bei der Integration rationaler Funktionen (Brüche von Polynomen) wird die Polynomdivision verwendet, um den Bruch in eine Summe von einfacheren Brüchen zu zerlegen. 4. **Lösen von Polynomgleichungen**: Um komplexe Polynomgleichungen zu lösen, kann die Polynomdivision helfen, die Gleichung in einfachere Teile zu zerlegen. 5. **Langdivision von Polynomen**: Ähnlich wie bei der Division von Zahlen kann die Polynomdivision verwendet werden, um den Quotienten und den Rest zu bestimmen, wenn ein Polynom durch ein anderes dividiert wird. Ein Beispiel für die Polynomdivision ist die Division von \( P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) durch \( D(x) = x - 2 \). Hierbei wird der Quotient \( Q(x) \) und der Rest \( R(x) \) bestimmt.

Um das Polynom \( x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \) zu dividieren, benötigst du einen Divisor. Angenommen, du möchtest es durch \( x + 3 \) dividieren. Hier ist die Schritt-für-Schritt-Durchführung der Polynomdivision: 1. **Teile den ersten Term**: \( \frac{x^3}{x} = x^2 \). 2. **Multipliziere den gesamten Divisor**: \( x^2 \cdot (x + 3) = x^3 + 3x^2 \). 3. **Subtrahiere das Ergebnis von dem ursprünglichen Polynom**: \[ (x^3 + 2x^2 - 5x - 6) - (x^3 + 3x^2) = -x^2 - 5x - 6. \] 4. **Wiederhole den Prozess**: Teile den ersten Term des neuen Polynoms: \( \frac{-x^2}{x} = -x \). 5. **Multipliziere den Divisor**: \( -x \cdot (x + 3) = -x^2 - 3x \). 6. **Subtrahiere wieder**: \[ (-x^2 - 5x - 6) - (-x^2 - 3x) = -2x - 6. \] 7. **Wiederhole den Prozess**: Teile den ersten Term: \( \frac{-2x}{x} = -2 \). 8. **Multipliziere den Divisor**: \( -2 \cdot (x + 3) = -2x - 6 \). 9. **Subtrahiere**: \[ (-2x - 6) - (-2x - 6) = 0. \] Das Ergebnis der Division ist also: \[ x^2 - x - 2. \] Das Polynom \( x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \) lässt sich also als \( (x + 3)(x^2 - x - 2) \) schreiben.

Um die Polynomdivision von \( x^3 + 0x^2 + 0x - 3 \) durch \( x - b \) durchzuführen, folge diesen Schritten: 1. **Teile das führende Glied**: Teile das führende Glied des Dividenden \( x^3 \) durch das führende Glied des Divisors \( x \). Das ergibt \( x^2 \). 2. **Multipliziere und subtrahiere**: Multipliziere \( x^2 \) mit dem gesamten Divisor \( x - b \): \[ x^2 \cdot (x - b) = x^3 - bx^2 \] Subtrahiere dies vom ursprünglichen Polynom: \[ (x^3 + 0x^2 + 0x - 3) - (x^3 - bx^2) = (0 + bx^2 + 0x - 3) = bx^2 + 0x - 3 \] 3. **Wiederhole den Prozess**: Teile das führende Glied \( bx^2 \) durch \( x \): \[ \frac{bx^2}{x} = bx \] Multipliziere und subtrahiere wieder: \[ bx \cdot (x - b) = bx^2 - b^2 \] Subtrahiere: \[ (bx^2 + 0x - 3) - (bx^2 - b^2) = (0x + b^2 - 3) = b^2 - 3 \] 4. **Letzte Division**: Teile \( b^2 - 3 \) durch \( x - b \). Da \( b^2 - 3 \) ein konstantes Polynom ist, bleibt es als Rest. Das Ergebnis der Polynomdivision ist: \[ x^2 + bx + \frac{b^2 - 3}{x - b} \] Zusammengefasst: \[ \frac{x^3 + 0x^2 + 0x - 3}{x - b} = x^2 + bx + \frac{b^2 - 3}{x - b} \]

Um die Polynomdivision von \( x^3 + 0x^2 + 0x - b^3 \) durch \( x - b \) durchzuführen, folge diesen Schritten: 1. **Teile das führende Glied**: Teile \( x^3 \) durch \( x \), was \( x^2 \) ergibt. 2. **Multipliziere**: Multipliziere \( x^2 \) mit \( x - b \), was \( x^3 - bx^2 \) ergibt. 3. **Subtrahiere**: Subtrahiere \( (x^3 - bx^2) \) von \( x^3 + 0x^2 + 0x - b^3 \): \[ (x^3 + 0x^2 + 0x -^3) - (x^3 - bx^2) = (0 + bx^2 + 0x - b^3) = bx^2 - b^3 \] 4. **Wiederhole den Prozess**: Teile \( bx^2 \) durch \( x \), was \( bx \) ergibt. 5. **Multipliziere**: Multipliziere \( bx \) mit \( x - b \), was \( bx^2 - b^2x \) ergibt. 6. **Subtrahiere**: Subtrahiere \( (bx^2 - b^2x) \) von \( bx^2 - b^3 \): \[ (bx^2 - b^3) - (bx^2 - b^2x) = (0 + b^2x - b^3) = b^2x - b^3 \] 7. **Wiederhole den Prozess**: Teile \( b^2x \) durch \( x \), was \( b^2 \) ergibt. 8. **Multipliziere**: Multipliziere \( b^2 \) mit \( x - b \), was \( b^2x - b^3 \) ergibt. 9. **Subtrahiere**: Subtrahiere \( (b^2x - b^3) \) von \( b^2x - b^3 \): \[ (b^2x - b^3) - (b^2x - b^3) = 0 \] Das Ergebnis der Polynomdivision ist: \[ x^2 + bx + b^2 \] und der Rest ist \( 0 \). Zusammengefasst: \[ \frac{x^3 - b^3}{x - b} = x^2 + bx + b^2 \]

Um die Division \( (a^5 + 4a^3 + 3a^4 - 1) : (a^2 - a^3) \) durchzuführen ordnen wir zuerst die Terme in absteigender Reihenfolge: 1. Schreibe die Division um: \[ (a^5 + 3a^4 + 4a^3 - 1) : ( -a^3 + a^2) \] 2. Führe die Polynomdivision durch: - Teile den ersten Term des Zählers \( a^5 \) durch den ersten Term des Nenners \( -a^3 \): \[ \frac{a^5}{-a^3} = -a^2 \] - Multipliziere \( -a^2 \) mit dem gesamten Divisor \( -a^3 + a^2 \): \[ -a^2 \cdot (-a^3 + a^2) = a^5 - a^4 \] - Subtrahiere das Ergebnis von dem ursprünglichen Zähler: \[ (a^5 + 3a^4 + 4a^3 - 1) - (a^5 - a^4) = 4a^4 + 1a^4 + 4a^3 - 1 = 4a^4 + 4a^3 - 1 \] 3. Wiederhole den Vorgang mit dem neuen Zähler \( 4a^4 + 4a^3 - 1 \): - Teile den ersten Term \( 4a^4 \) durch \( -a^3 \): \[ \frac{4a^4}{-a^3} = -4a \] - Multipliziere \( -4a \) mit dem Divisor: \[ -4a \cdot (-a^3 + a^2) = 4a^4 - 4a^3 \] - Subtrahiere: \[ (4a^4 + 4a^3 - 1) - (4a^4 - 4a^3) = 8a^3 - 1 \] 4. Wiederhole den Vorgang mit \( 8a^3 - 1 \): - Teile \( 8a^3 \) durch \( -a^3 \): \[ \frac{8a^3}{-a^3} = -8 \] - Multipliziere \( -8 \) mit dem Divisor: \[ -8 \cdot (-a^3 + a^2) = 8a^3 - 8 \] - Subtrahiere: \[ (8a^3 - 1) - (8a^3 - 8) = 7 \] 5. Das Ergebnis der Polynomdivision ist: \[ -a^2 - 4a - 8 + \frac{7}{-a^3 + a^2} \] Zusammengefasst ergibt die Division: \[ \frac{a^5 + 4a^3 + 3a^4 - 1}{a^2 - a^3} = -a^2 - 4a - 8 + \frac{7}{-a^3 + a^2} \]

Um den Ausdruck \((a^3b - a^2b^2 + ab^3):(a - b)\) mit Polynomdivision zu lösen, folge diesen Schritten: 1. **Schreibe den Dividend und den Divisor auf:** - Dividend: \(a^3b - a^2b^2 + ab^3\) - Divisor: \(a - b\) 2. **Führe die Polynomdivision durch:** - Teile den ersten Term des Dividenden \(a^3b\) durch den ersten Term des Divisors \(a\): \[ \frac{a^3b}{a} = a^2b \] - Multipliziere \(a^2b\) mit dem gesamten Divisor \(a - b\): \[ a^2b \cdot (a - b) = a^3b - a^2b^2 \] - Subtrahiere das Ergebnis von dem ursprünglichen Dividend: \[ (a^3b - a^2b^2 + ab^3) - (a^3b - a^2b^2) = ab^3 \] 3. **Wiederhole den Prozess mit dem neuen Dividend \(ab^3\):** - Teile \(ab^3\) durch \(a\): \[ \frac{ab^3}{a} = b^3 \] - Multipliziere \(b^3\) mit dem Divisor \(a - b\): \[ b^3 \cdot (a - b) = ab^3 - b^4 \] - Subtrahiere: \[ ab^3 - (ab^3 - b^4) = b^4 \] 4. **Der neue Dividend ist \(b^4\):** - Teile \(b^4\) durch \(a\): \[ \frac{b^4}{a} = 0 \quad (\text{da } b^4 \text{ keinen } a \text{ Term enthält}) \] 5. **Das Ergebnis der Polynomdivision:** - Der Quotient ist \(a^2b + b^3\) und der Rest ist \(b^4\). Somit ergibt die Polynomdivision: \[ \frac{a^3b - a^2b^2 + ab^3}{a - b} = a^2b + b^3 + \frac{b^4}{a - b} \]

Hier sind die Schritte zur Durchführung der Polynomdivision für die angegebenen Aufgaben: ### a) \((x^3 + 2x^2 - 17x + 6) : (x(x - 3))\) 1. **Teiler umformen**: \(x(x - 3) = x^2 - 3x\) 2. **Polynomdivision**: - Dividiere \(x^3\) durch \(x^2\) → \(x\) - Multipliziere \(x\) mit \(x^2 - 3x\) → \(x^3 - 3x^2\) - Subtrahiere: \((x^3 + 2x^2 - 17x + 6) - (x^3 - 3x^2) = 5x^2 - 17x + 6\) - Dividiere \(5x^2\) durch \(x^2\) → \(5\) - Multipliziere \(5\) mit \(x^2 - 3x\) → \(5x^2 - 15x\) - Subtrahiere: \((5x^2 - 17x + 6) - (5x^2 - 15x) = -2x + 6\) Das Ergebnis ist: \(x + 5\) mit einem Rest von \(-2x + 6\). ### b) \((2x^3 + 2x^2 - 21x + 12) : (x + 4)\) 1. **Polynomdivision**: - Dividiere \(2x^3\) durch \(x\) → \(2x^2\) - Multipliziere \(2x^2\) mit \(x + 4\) → \(2x^3 + 8x^2\) - Subtrahiere: \((2x^3 + 2x^2 - 21x + 12) - (2x^3 + 8x^2) = -6x^2 - 21x + 12\) - Dividiere \(-6x^2\) durch \(x\) → \(-6x\) - Multipliziere \(-6x\) mit \(x + 4\) → \(-6x^2 - 24x\) - Subtrahiere: \((-6x^2 - 21x + 12) - (-6x^2 - 24x) = 3x + 12\) - Dividiere \(3x\) durch \(x\) → \(3\) - Multipliziere \(3\) mit \(x + 4\) → \(3x + 12\) - Subtrahiere: \((3x + 12) - (3x + 12) = 0\) Das Ergebnis ist: \(2x^2 - 6x + 3\) ohne Rest. ### c) \((2x^3 - 7x^2 - x + 2) : (2x - 1)\) 1. **Polynomdivision**: - Dividiere \(2x^3\) durch \(2x\) → \(x^2\) - Multipliziere \(x^2\) mit \(2x - 1\) → \(2x^3 - x^2\) - Subtrahiere: \((2x^3 - 7x^2 - x + 2) - (2x^3 - x^2) = -6x^2 - x + 2\) - Dividiere \(-6x^2\) durch \(2x\) → \(-3x\) - Multipliziere \(-3x\) mit \(2x - 1\) → \(-6x^2 + 3x\) - Subtrahiere: \((-6x^2 - x + 2) - (-6x^2 + 3x) = -4x + 2\) - Dividiere \(-4x\) durch \(2x\) → \(-2\) - Multipliziere \(-2\) mit \(2x - 1\) → \(-4x + 2\) - Subtrahiere: \((-4x + 2) - (-4x + 2) = 0\) Das Ergebnis ist: \(x^2 - 3x

Um die Polynomdivision durchzuführen, betrachten wir die beiden Aufgaben einzeln. **c) \( (2x^3 - 7x^2 - x + 2) : (2x - 1) \)** 1. **Erster Schritt:** Teile den ersten Term des Dividenden durch den ersten Term des Divisors: \[ \frac{2x^3}{2x} = x^2 \] 2. **Zweiter Schritt:** Multipliziere den gesamten Divisor mit \( x^2 \): \[ x^2(2x - 1) = 2x^3 - x^2 \] 3. **Dritter Schritt:** Subtrahiere das Ergebnis von dem ursprünglichen Polynom: \[ (2x^3 - 7x^2 - x + 2) - (2x^3 - x^2) = -6x^2 - x + 2 \] 4. **Vierter Schritt:** Wiederhole den Prozess mit dem neuen Polynom: \[ \frac{-6x^2}{2x} = -3x \] Multipliziere: \[ -3x(2x - 1) = -6x^2 + 3x \] Subtrahiere: \[ (-6x^2 - x + 2) - (-6x^2 + 3x) = -4x + 2 \] 5. **Fünfter Schritt:** Wiederhole den Prozess erneut: \[ \frac{-4x}{2x} = -2 \] Multipliziere: \[ -2(2x - 1) = -4x + 2 \] Subtrahiere: \[ (-4x + 2) - (-4x + 2) = 0 \] Das Ergebnis der Division ist: \[ x^2 - 3x - 2 \] **d) \( (x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 9x - 2) : (x + 2) \)** 1. **Erster Schritt:** Teile den ersten Term des Dividenden durch den ersten Term des Divisors: \[ \frac{x^4}{x} = x^3 \] 2. **Zweiter Schritt:** Multipliziere den gesamten Divisor mit \( x^3 \): \[ x^3(x + 2) = x^4 + 2x^3 \] 3. **Dritter Schritt:** Subtrahiere das Ergebnis von dem ursprünglichen Polynom: \[ (x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 9x - 2) - (x^4 + 2x^3) = -4x^2 - 9x - 2 \] 4. **Vierter Schritt:** Wiederhole den Prozess mit dem neuen Polynom: \[ \frac{-4x^2}{x} = -4x \] Multipliziere: \[ -4x(x + 2) = -4x^2 - 8x \] Subtrahiere: \[ (-4x^2 - 9x - 2) - (-4x^2 - 8x) = -x - 2 \] 5. **Fünfter Schritt:** Wiederhole den Prozess erneut: \[ \frac{-x}{x} = -1 \] Multipliziere: \[ -1(x + 2) = -x - 2 \] Subtrahiere: \[ (-x - 2) - (-x - 2) = 0 \] Das Ergebnis der Division ist: \[ x^3 - 4x - 1 \] Zusammenfassend sind die Ergebnisse: - c) \( x^2 - 3x - 2 \) - d) \( x^3 - 4x - 1 \)

Um die Nullstellen des Polynoms \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \) mit der Polynomdivision zu berechnen, müssen wir zunächst einen möglichen Nullstellenwert finden. Wir können die Rationalen Wurzelsätze verwenden, um mögliche rationale Nullstellen zu testen. Die möglichen rationalen Nullstellen sind die Teiler des konstanten Terms (-6) geteilt durch die Teiler des führenden Koeffizienten (1). Die möglichen rationalen Nullstellen sind also: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \). Wir testen diese Werte: 1. **Testen von \( x = -2 \)**: \[ f(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 5(-2) - = -8 + 8 + 10 - 6 = 4 \quad (\text{nicht eine Nullstelle}) \] 2. **Testen von \( x = -3 \)**: \[ f(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 - 5(-3) - 6 = -27 + 18 + 15 - 6 = 0 \quad (\text{eine Nullstelle}) \] Da \( x = -3 \) eine Nullstelle ist, führen wir die Polynomdivision von \( f(x) \) durch \( x + 3 \) durch. **Polynomdivision**: 1. Teile den ersten Term: \( x^3 \div x = x^2 \). 2. Multipliziere \( x^2 \) mit \( x + 3 \): \( x^2(x + 3) = x^3 + 3x^2 \). 3. Subtrahiere: \[ (x^3 + 2x^2 - 5x - 6) - (x^3 + 3x^2) = -x^2 - 5x - 6 \] 4. Teile den nächsten Term: \( -x^2 \div x = -x \). 5. Multipliziere \( -x \) mit \( x + 3 \): \( -x(x + 3) = -x^2 - 3x \). 6. Subtrahiere: \[ (-x^2 - 5x - 6) - (-x^2 - 3x) = -2x - 6 \] 7. Teile den nächsten Term: \( -2x \div x = -2 \). 8. Multipliziere \( -2 \) mit \( x + 3 \): \( -2(x + 3) = -2x - 6 \). 9. Subtrahiere: \[ (-2x - 6) - (-2x - 6) = 0 \] Das Ergebnis der Polynomdivision ist: \[ f(x) = (x + 3)(x^2 - x - 2) \] Nun müssen wir die Nullstellen des quadratischen Faktors \( x^2 - x - 2 \) finden. Wir setzen die Gleichung gleich null: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Diese Gleichung kann durch Faktorisierung gelöst werden: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] Die Nullstellen sind: \[ x = 2 \quad \text{und} \quad x = -1 \] Zusammenfassend sind die Nullstellen des Polynoms \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \): \[ x = -3, \quad x = 2, \quad x = -1 \]