(a⁵ + 4a³ + 3a⁴ - 1) : (a² - a³) lösen mit Polynomdivision.

Um die Division \( (a^5 + 4a^3 + 3a^4 - 1) : (a^2 - a^3) \) durchzuführen ordnen wir zuerst die Terme in absteigender Reihenfolge:

1. Schreibe die Division um:
\[
(a^5 + 3a^4 + 4a^3 - 1) : ( -a^3 + a^2)
\]

2. Führe die Polynomdivision durch:

- Teile den ersten Term des Zählers \( a^5 \) durch den ersten Term des Nenners \( -a^3 \):
\[
\frac{a^5}{-a^3} = -a^2
\]

- Multipliziere \( -a^2 \) mit dem gesamten Divisor \( -a^3 + a^2 \):
\[
-a^2 \cdot (-a^3 + a^2) = a^5 - a^4
\]

- Subtrahiere das Ergebnis von dem ursprünglichen Zähler:
\[
(a^5 + 3a^4 + 4a^3 - 1) - (a^5 - a^4) = 4a^4 + 1a^4 + 4a^3 - 1 = 4a^4 + 4a^3 - 1
\]

3. Wiederhole den Vorgang mit dem neuen Zähler \( 4a^4 + 4a^3 - 1 \):

- Teile den ersten Term \( 4a^4 \) durch \( -a^3 \):
\[
\frac{4a^4}{-a^3} = -4a
\]

- Multipliziere \( -4a \) mit dem Divisor:
\[
-4a \cdot (-a^3 + a^2) = 4a^4 - 4a^3
\]

- Subtrahiere:
\[
(4a^4 + 4a^3 - 1) - (4a^4 - 4a^3) = 8a^3 - 1
\]

4. Wiederhole den Vorgang mit \( 8a^3 - 1 \):

- Teile \( 8a^3 \) durch \( -a^3 \):
\[
\frac{8a^3}{-a^3} = -8
\]

- Multipliziere \( -8 \) mit dem Divisor:
\[
-8 \cdot (-a^3 + a^2) = 8a^3 - 8
\]

- Subtrahiere:
\[
(8a^3 - 1) - (8a^3 - 8) = 7
\]

5. Das Ergebnis der Polynomdivision ist:
\[
-a^2 - 4a - 8 + \frac{7}{-a^3 + a^2}
\]

Zusammengefasst ergibt die Division:
\[
\frac{a^5 + 4a^3 + 3a^4 - 1}{a^2 - a^3} = -a^2 - 4a - 8 + \frac{7}{-a^3 + a^2}
\]