(a³b - a²b² + ab³):(a - b) mit Polynomdivision lösen

Um den Ausdruck \((a^3b - a^2b^2 + ab^3):(a - b)\) mit Polynomdivision zu lösen, folge diesen Schritten:

1. **Schreibe den Dividend und den Divisor auf:**
- Dividend: \(a^3b - a^2b^2 + ab^3\)
- Divisor: \(a - b\)

2. **Führe die Polynomdivision durch:**
- Teile den ersten Term des Dividenden \(a^3b\) durch den ersten Term des Divisors \(a\):
\[
\frac{a^3b}{a} = a^2b
\]
- Multipliziere \(a^2b\) mit dem gesamten Divisor \(a - b\):
\[
a^2b \cdot (a - b) = a^3b - a^2b^2
\]
- Subtrahiere das Ergebnis von dem ursprünglichen Dividend:
\[
(a^3b - a^2b^2 + ab^3) - (a^3b - a^2b^2) = ab^3
\]

3. **Wiederhole den Prozess mit dem neuen Dividend \(ab^3\):**
- Teile \(ab^3\) durch \(a\):
\[
\frac{ab^3}{a} = b^3
\]
- Multipliziere \(b^3\) mit dem Divisor \(a - b\):
\[
b^3 \cdot (a - b) = ab^3 - b^4
\]
- Subtrahiere:
\[
ab^3 - (ab^3 - b^4) = b^4
\]

4. **Der neue Dividend ist \(b^4\):**
- Teile \(b^4\) durch \(a\):
\[
\frac{b^4}{a} = 0 \quad (\text{da } b^4 \text{ keinen } a \text{ Term enthält})
\]

5. **Das Ergebnis der Polynomdivision:**
- Der Quotient ist \(a^2b + b^3\) und der Rest ist \(b^4\).

Somit ergibt die Polynomdivision:
\[
\frac{a^3b - a^2b^2 + ab^3}{a - b} = a^2b + b^3 + \frac{b^4}{a - b}
\]