19 Fragen zu Äquivalenzumformung

Um die Gleichung \( x:4 - 1 = 9 \) zu lösen, kannst du folgende Äquivalenzumformungen durchführen: 1. Addiere 1 zu beiden Seiten der Gleichung, um die -1 zu eliminieren: \[ x:4 - 1 + 1 = 9 + 1 \] Das vereinfacht sich zu: \[ x:4 = 10 \] 2. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit 4, um die Division durch 4 zu eliminieren: \[ (x:4) \cdot 4 = 10 \cdot 4 \] Das vereinfacht sich zu: \[ x = 40 \] Also ist die Lösung der Gleichung \( x = 40 \).

Um die Gleichung \(3x = x + 6\) zu lösen, kannst du folgende Äquivalenzumformungen durchführen: 1. Subtrahiere \(x\) von beiden Seiten der Gleichung: \[ 3x - x = x + 6 - x \] Das vereinfacht sich zu: \[ 2x = 6 \] 2. Teile beide Seiten der Gleichung durch 2: \[ \frac{2x}{2} = \frac{6}{2} \] Das ergibt: \[ x = 3 \] Die Lösung der Gleichung ist also \(x = 3\).

Die Gleichung, die du angegeben hast, scheint einen Fehler zu enthalten. Ich nehme an, du meinst die Gleichung \(5x - 1 = 2x + 5\). Hier ist die Äquivalenzumformung, um die Gleichung zu lösen: 1. Subtrahiere \(2x\) von beiden Seiten der Gleichung: \[ 5x - 2x - 1 = 2x - 2x + 5 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 3x - 1 = 5 \] 2. Addiere 1 zu beiden Seiten der Gleichung: \[ 3x - 1 + 1 = 5 + 1 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 3x = 6 \] 3. Teile beide Seiten der Gleichung durch 3: \[ \frac{3x}{3} = \frac{6}{3} \] Das vereinfacht sich zu: \[ x = 2 \] Die Lösung der Gleichung ist \(x = 2\).

Um die Gleichung \( x \cdot 3 = 8 \) zu lösen, kannst du eine Äquivalenzformung durchführen. Das bedeutet, du führst eine Operation auf beiden Seiten der Gleichung durch, \( x \) zu isolieren. 1. Teile beide Seiten Gleichung durch 3: \[ x \cdot 3 \div 3 = 8 \div 3 \] 2. Das vereinfacht sich zu: \[ x = \frac{8}{3} \] Also ist die Lösung \( x = \frac{8}{3} \).

Um die Gleichung \(5z - 7 = 4z + 3\) zu lösen, kannst du die folgenden Schritte der Äquivalenzumformung durchführen: 1. Subtrahiere \(4z\) von beiden Seiten der Gleichung, um die Terme mit \(z\) auf einer Seite zu sammeln: \[ 5z - 4z - 7 = 4z - 4z + 3 \] Das vereinfacht sich zu: \[ z - 7 = 3 \] 2. Addiere 7 zu beiden Seiten der Gleichung, um die Konstante auf die andere Seite zu bringen: \[ z - 7 + 7 = 3 + 7 \] Das vereinfacht sich zu: \[ z = 10 \] Das Ergebnis der Gleichung ist also \(z = 10\).

Um die Gleichung \(4x - 2 = 22\) zu lösen, kannst du folgende Äquivalenzumformungen durchführen: 1. Addiere 2 zu beiden Seiten der Gleichung: \[ 4x - 2 + 2 = 22 + 2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 4x = 24 \] 2. Teile beide Seiten der Gleichung durch 4: \[ \frac{4x}{4} = \frac{24}{4} \] Das vereinfacht sich zu: \[ x = 6 \] Die Lösung der Gleichung ist \(x = 6\).

Um die Gleichung \(3x + 14 = 26\) zu lösen, kannst du folgende Äquivalenzumformungen durchführen: 1. Subtrahiere 14 von beiden Seiten der Gleichung: \[ 3x + 14 - 14 = 26 - 14 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 3x = 12 \] 2. Teile beide Seiten der Gleichung durch 3: \[ \frac{3x}{3} = \frac{12}{3} \] Das vereinfacht sich zu: \[ x = 4 \] Die Lösung der Gleichung ist \(x = 4\).

Um eine Gleichung mit Äquivalenzumformungen zu lösen, folge diesen Schritten: 1. **Gleichung aufstellen**: Beginne mit der gegebenen Gleichung, z.B. \(2x + 3 = 11\). 2. **Äquivalenzumformungen anwenden**: Du kannst die Gleichung umformen, ohne die Lösung zu verändern. Dazu gehören: - Addition oder Subtraktion der gleichen Zahl auf beiden Seiten. - Multiplikation oder Division beider Seiten mit der gleichen Zahl (außer null). 3. **Beispiel**: - Subtrahiere 3 von beiden Seiten: \[ 2x + 3 - 3 = 11 - 3 \implies 2x = 8 \] - Teile beide Seiten durch 2: \[ \frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \implies x = 4 \] 4. **Lösung überprüfen**: Setze die gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein, um sicherzustellen, dass sie korrekt ist: \[ 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 \] Die Lösung \(x = 4\) ist korrekt. So kannst du jede Gleichung mit Äquivalenzumformungen lösen.

Um die lineare Gleichung \(5x - 5 = 25\) durch Äquivalenzumformung zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Addiere 5 zu beiden Seiten der Gleichung: \[ 5x - 5 + 5 = 25 + 5 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 5x = 30 \] 2. Teile beide Seiten der Gleichung durch 5: \[ \frac{5x}{5} = \frac{30}{5} \] Das ergibt: \[ x = 6 \] Die Lösung der Gleichung ist also \(x = 6\).

Um die Gleichung \(2x + 9 = 29\) zu lösen, führen wir die Äquivalenzumformungen durch: 1. Subtrahiere 9 von beiden Seiten der Gleichung: \[ 2x + 9 - 9 = 29 - 9 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 2x = 20 \] 2. Teile beide Seiten der Gleichung durch 2: \[ \frac{2x}{2} = \frac{20}{2} \] Das ergibt: \[ x = 10 \] **Probe:** Setze \(x = 10\) in die ursprüngliche Gleichung ein: \[ 2(10) + 9 = 29 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 20 + 9 = 29 \] Da \(29 = 29\) wahr ist, ist die Lösung korrekt. Die Lösung der Gleichung \(2x + 9 = 29\) ist also \(x = 10\).

Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer mathematischen Gleichung oder Aussage, bei der die Lösungsmenge unverändert bleibt. Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung und die umgeformte Gleichung genau die gleichen Lösungen haben. Äquivalenzumformungen werden häufig beim Lösen von Gleichungen verwendet, zum Beispiel durch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division beider Seiten der Gleichung mit derselben Zahl (außer Null bei Division), oder durch Anwenden gleicher Operationen auf beiden Seiten. Ziel ist es, die Gleichung schrittweise zu vereinfachen, ohne die Lösungsmenge zu verändern.

Um einen Bruch mit Äquivalenzumformungen aufzulösen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Identifiziere den Bruch**: Schreibe den Bruch in der Form \( \frac{a}{b} \), wobei \( \) der Zähler und \( b \) der Nenner ist. 2. **Multipliziere mit dem Nenner**: Um den Bruch zu eliminieren, multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner \( b \) (sofern \( b \neq 0 \)). Dadurch erhältst du \( a = b \cdot c \), wobei \( c \) der Wert ist, den der Bruch darstellt. 3. **Äquivalenzumformungen anwenden**: Du kannst die Gleichung umformen, indem du die gleichen Operationen auf beiden Seiten anwendest, um die Unbekannte zu isolieren. Zum Beispiel, wenn du \( a = b \cdot c \) hast, kannst du durch \( b \) teilen (sofern \( b \neq 0 \)), um \( c \) zu isolieren: \( c = \frac{a}{b} \). 4. **Prüfe die Lösung**: Setze die gefundene Lösung zurück in die ursprüngliche Gleichung ein, um sicherzustellen, dass sie korrekt ist. Diese Schritte helfen dir, Brüche mithilfe von Äquivalenzumformungen zu lösen.

Um die Gleichung \(8x + 2 = 2x + 5\) zu lösen, führen wir die Äquivalenzumformungen durch: 1. Subtrahiere \(2x\) von beiden Seiten: \[ 8x - 2x + 2 = 5 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 6x + 2 = 5 \] 2. Subtrahiere \(2\) von beiden Seiten: \[ 6x = 5 - 2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 6x = 3 \] 3. Teile beide Seiten durch \(6\): \[ x = \frac{3}{6} \] Das vereinfacht sich zu: \[ x = \frac{1}{2} \] Nun führen wir die Probe durch, indem wir \(x = \frac{1}{2}\) in die ursprüngliche Gleichung einsetzen: Linke Seite: \[ 8\left(\frac{1}{2}\right) + 2 = 4 + 2 = 6 \] Rechte Seite: \[ 2\left(\frac{1}{2}\right) + 5 = 1 + 5 = 6 \] Da beide Seiten gleich sind (\(6 = 6\)), ist die Lösung \(x = \frac{1}{2}\) korrekt.

Um \(4y\) aus einer Gleichung oder einem Ausdruck zu entfernen, kannst du die Äquivalenzumformung anwenden. Hier sind die Schritte, die du befolgen kannst: 1. **Subtrahiere \(4y\)**: Wenn du \(4y\) von beiden Seiten der Gleichung subtrahierst, bleibt die Gleichheit erhalten. Zum Beispiel, wenn du die Gleichung \(x + 4y = z\) hast, subtrahiere \(4y\) von beiden Seiten: \[ x = z - 4y \] 2. **Teile durch \(4\)**: Wenn du \(4y\) isoliert hast, kannst du auch durch \(4\) teilen, um \(y\) zu isolieren. Zum Beispiel, wenn du die Gleichung \(4y = x\) hast, teile durch \(4\): \[ y = \frac{x}{4} \] 3. **Fasse zusammen**: In manchen Fällen kannst du auch \(4y\) in einen anderen Ausdruck umformen, um ihn zu eliminieren, je nach Kontext der Gleichung. Die genaue Methode hängt von der spezifischen Gleichung oder dem Ausdruck ab, mit dem du arbeitest.

Um die Gleichung \(36 + 6x = 12x - 18\) durch Äquivalenzumformungen zu lösen, kannst du folgende Schritte durchführen: 1. **Subtrahiere \(6x\) von beiden Seiten**: \[ 36 = 12x - 6x - 18 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 36 = 6x - 18 \] 2. **Addiere \(18\) zu beiden Seiten**: \[ 36 + 18 = 6x \] Das ergibt: \[ 54 = 6x \] 3. **Teile beide Seiten durch \(6\)**: \[ x = \frac{54}{6} \] Das ergibt: \[ x = 9 \] Die Lösung der Gleichung ist also \(x = 9\).