Wie löse ich die Gleichung 3x = x + 6 durch Äquivalenzumformung?

Question

Wie löse ich die Gleichung 3x = x + 6 durch Äquivalenzumformung?

Antwort

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Wie löst man das Additionsverfahren bei 4x+3y=5 und -4x-5y=-5?

Wie führt man Äquivalenzumformungen durch?

Was ist eine Äquivalenzumformung?

Accepted Answer

Um die Gleichung \(3x = x + 6\) zu lösen, kannst du folgende Äquivalenzumformungen durchführen: 1. Subtrahiere \(x\) von beiden Seiten der Gleichung: \[ 3x - x = x + 6 - x \] Das vereinfacht sich zu: \[ 2x = 6 \] 2. Teile beide Seiten der Gleichung durch 2: \[ \frac{2x}{2} = \frac{6}{2} \] Das ergibt: \[ x = 3 \] Die Lösung der Gleichung ist also \(x = 3\).

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**Beispielaufgabe:** Gegeben sind die beiden Funktionen \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) und \( g(x) = -x^2 + 3x \). **Aufgabe:** Bestimme alle Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen. --- **... [mehr]

Accepted Answer

**Beispielaufgabe:** Gegeben sind die beiden Funktionen \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) und \( g(x) = -x^2 + 3x \). **Aufgabe:** Bestimme alle Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen. --- **Lösung:** 1. **Gleichsetzen der Funktionen:** \( f(x) = g(x) \) \( x^3 - 2x^2 + x = -x^2 + 3x \) 2. **Umstellen:** \( x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 3x = 0 \) \( x^3 - x^2 - 2x = 0 \) 3. **Ausklammern:** \( x(x^2 - x - 2) = 0 \) 4. **Nullstellen bestimmen:** a) \( x = 0 \) b) \( x^2 - x - 2 = 0 \) Die quadratische Gleichung lösen: \( x^2 - x - 2 = 0 \) Mitternachtsformel: \( x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \) Also: \( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) \( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \) Die Schnittstellen liegen also bei \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( x = -1 \). 5. **y-Koordinaten berechnen:** Für \( x = 0 \): \( f(0) = 0^3 - 2\cdot0^2 + 0 = 0 \) Schnittpunkt: \( (0|0) \) Für \( x = 2 \): \( f(2) = 8 - 8 + 2 = 2 \) Schnittpunkt: \( (2|2) \) Für \( x = -1 \): \( f(-1) = (-1) - 2\cdot1 + (-1) = -1 - 2 - 1 = -4 \) Schnittpunkt: \( (-1|-4) \) **Antwort:** Die Graphen schneiden sich in den Punkten \( (-1|-4) \), \( (0|0) \) und \( (2|2) \).

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Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen vorkommen. Sie beschreibt, wie sich eine Größe (z. B. Temperatur, Geschwindigkeit, Popula... [mehr]

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Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen vorkommen. Sie beschreibt, wie sich eine Größe (z. B. Temperatur, Geschwindigkeit, Population) in Abhängigkeit von einer oder mehreren Variablen verändert. **Beispiel einer Differentialgleichung:** \[ \frac{dy}{dx} = 3y \] Hier ist \( y \) die unbekannte Funktion von \( x \), und \( \frac{dy}{dx} \) ist ihre Ableitung. **Lösen einer Differentialgleichung:** Das Ziel ist, die Funktion \( y(x) \) zu finden, die die Gleichung erfüllt. **Schritt-für-Schritt-Lösung des Beispiels:** 1. **Trennung der Variablen:** \[ \frac{dy}{dx} = 3y \implies \frac{1}{y}dy = 3dx \] 2. **Integration beider Seiten:** \[ \int \frac{1}{y}dy = \int 3dx \] \[ \ln|y| = 3x + C \] (C ist die Integrationskonstante.) 3. **Umstellen nach \( y \):** \[ |y| = e^{3x + C} = e^C \cdot e^{3x} \] \[ y(x) = A e^{3x} \] (mit \( A = \pm e^C \), eine beliebige Konstante.) **Zusammenfassung:** - Eine Differentialgleichung enthält Ableitungen einer Funktion. - Die Lösung ist eine Funktion, die die Gleichung erfüllt. - Es gibt verschiedene Methoden zur Lösung, je nach Typ der Differentialgleichung (z. B. Trennung der Variablen, Variation der Konstanten, charakteristische Gleichung bei linearen DGLs). Weitere Informationen findest du z. B. auf [Wikipedia: Differentialgleichung](https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung).

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Um das Gleichsetzungsverfahren anwenden zu können, benötigst du ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit **zwei Gleichungen** und **zwei Variablen** (meistens x und y). In deiner Angabe steht... [mehr]

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Um das Gleichsetzungsverfahren anwenden zu können, benötigst du ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit **zwei Gleichungen** und **zwei Variablen** (meistens x und y). In deiner Angabe steht aber nur **eine Gleichung**: \( y = 9x - 49 \) Das ist keine System von Gleichungen sondern nur eine einzelne Gleichung mit zwei Unbekannten. Das Gleichsetzungsverfahren ist hier nicht anwendbar, da mindestens zwei Gleichungen benötigt werden. **Fazit:** Mit nur einer Gleichung kann das Gleichsetzungsverfahren nicht angewendet werden. Bitte gib eine zweite Gleichung an, damit das LGS gelöst werden kann.

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Um das Additions (auch Gleichsetzungs- oder Eliminationsverfahren genannt) anzuwenden, werden die beiden Gleichungen so addiert, dass eine Variable wegfällt. Hier sind die beiden Gleichungen: (I... [mehr]

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Um das Additions (auch Gleichsetzungs- oder Eliminationsverfahren genannt) anzuwenden, werden die beiden Gleichungen so addiert, dass eine Variable wegfällt. Hier sind die beiden Gleichungen: (I) 4x + 3y = 5 (II) -4x - 5y = -5 **Schritt 1: Gleichungen addieren** Addiere (I) und (II): (4x + 3y) + (-4x - 5y) = 5 + (-5) 4x - 4x + 3y - 5y = 0 0x + (-2y) = 0 -2y = 0 **Schritt 2: Nach y auflösen** -2y = 0 y = 0 **Schritt 3: y in eine der Gleichungen einsetzen** Setze y = 0 in (I) ein: 4x + 3·0 = 5 4x = 5 x = 5/4 **Lösung:** x = 5/4 y = 0 **Lösungsmenge:** L = { (5/4 | 0) }

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Äquivalenzumformungen sind Umformungen von Gleichungen oder Ungleichungen, bei denen die Lösungsmenge erhalten bleibt. Das Ziel ist, die Gleichung so umzuformen, dass sie leichter zu lö... [mehr]

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Äquivalenzumformungen sind Umformungen von Gleichungen oder Ungleichungen, bei denen die Lösungsmenge erhalten bleibt. Das Ziel ist, die Gleichung so umzuformen, dass sie leichter zu lösen ist, ohne dass sich die Lösungen ändern. Hier sind die wichtigsten Regeln: 1. **Addition/Subtraktion**: Du kannst auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren. Beispiel: \( x + 3 = 7 \) \(\rightarrow x + 3 - 3 = 7 - 3 \) \(\rightarrow x = 4 \) 2. **Multiplikation/Division**: Du kannst beide Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl (außer 0) multiplizieren oder durch sie teilen. Beispiel: \( 2x = 8 \) \(\rightarrow \frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \) \(\rightarrow x = 4 \) 3. **Klammern auflösen**: Klammern können mit Hilfe des Distributivgesetzes aufgelöst werden. Beispiel: \( 2(x + 3) = 8 \) \(\rightarrow 2x + 6 = 8 \) 4. **Zusammenfassen von Termen**: Gleiche Terme auf einer Seite zusammenfassen. Beispiel: \( x + x = 6 \) \(\rightarrow 2x = 6 \) 5. **Unbekannte auf eine Seite bringen**: Alle Variablen auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere. Beispiel: \( x + 2 = 3x - 4 \) \(\rightarrow x - 3x = -4 - 2 \) \(\rightarrow -2x = -6 \) **Wichtig:** Bei Ungleichungen (>, <, ≥, ≤) musst du beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umdrehen. **Zusammengefasst:** Bei jeder Umformung musst du die Gleichung so behandeln, dass die Lösungsmenge gleich bleibt. Das erreichst du, indem du auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Rechenoperation ausführst. Weitere Infos findest du z.B. bei [Serlo Mathematik](https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/gleichungen/aequivalenzumformungen).

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Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer mathematischen Gleichung oder Aussage, bei der die Lösungsmenge unverändert bleibt. Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung... [mehr]

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Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer mathematischen Gleichung oder Aussage, bei der die Lösungsmenge unverändert bleibt. Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung und die umgeformte Gleichung genau die gleichen Lösungen haben. Äquivalenzumformungen werden häufig beim Lösen von Gleichungen verwendet, zum Beispiel durch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division beider Seiten der Gleichung mit derselben Zahl (außer Null bei Division), oder durch Anwenden gleicher Operationen auf beiden Seiten. Ziel ist es, die Gleichung schrittweise zu vereinfachen, ohne die Lösungsmenge zu verändern.