Wie vereinfacht man die Gleichung sin^4(x) - sin^2(x) + (sqrt(3)/2) + 1 = 0?

Question

Wie vereinfacht man die Gleichung sin^4(x) - sin^2(x) + (sqrt(3)/2) + 1 = 0?

Antwort

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Accepted Answer

Um die Gleichung \( \sin^4(x) - \sin^2(x) + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 0 \) zu vereinfachen, kannst du eine Substitution verwenden. Setze \( y = \sin^2(x) \). Dann wird die Gleichung zu: \[ y^2 - y + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 0 \] Das vereinfacht sich zu: \[ y^2 - y + \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0 \] Berechne den konstanten Term: \[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \] Somit lautet die Gleichung: \[ y^2 - y + \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 0 \] Um die Lösungen für \( y \) zu finden, kannst du die Mitternachtsformel (quadratische Formel) anwenden: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = 1 \), \( b = -1 \) und \( c = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \). Setze diese Werte in die Formel ein: \[ y = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2}}}{2 \cdot 1} \] Berechne den Diskriminanten: \[ 1 - 2(2 + \sqrt{3}) = 1 - 4 - 2\sqrt{3} = -3 - 2\sqrt{3} \] Da der Diskriminant negativ ist, hat die Gleichung keine reellen Lösungen. Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung keine reellen Werte für \( x \) hat, die sie erfüllen.

Accepted Answer

Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitut... [mehr]

Accepted Answer

Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitution“. Zum Beispiel, wenn du die Funktion \( f(x) = x^2 \) hast und sie in die Gleichung \( y = 3 + f(x) \) einbauen möchtest, schreibst du: \( y = 3 + x^2 \) Wenn du eine komplexere Gleichung hast, wie zum Beispiel \( y = 2 \cdot f(x) + 5 \), setzt du ebenfalls die Funktion an die Stelle von \( f(x) \): \( y = 2 \cdot x^2 + 5 \) Falls du eine Funktion in eine andere Funktion einsetzt (Funktionsverkettung), zum Beispiel \( g(x) = \sin(x) \) und \( f(x) = x^2 \), dann ist \( g(f(x)) = \sin(x^2) \). Wenn du ein konkretes Beispiel hast, kann ich dir zeigen, wie du es einsetzt. Generell gilt: Ersetze einfach die Funktionsvariable durch den gewünschten Ausdruck oder die Funktion.

Accepted Answer

Die Aufgabe lautet: \( x^8 \cdot 9x^{-3} \) Zuerst die Potenzen mit gleicher Basis (x) zusammenfassen: \( x^8 \cdot x^{-3} = x^{8 + (-3)} = x^5 \) Dann bleibt noch die 9 als Faktor: \( 9 \cdot x... [mehr]

Accepted Answer

Die Aufgabe lautet: \( x^8 \cdot 9x^{-3} \) Zuerst die Potenzen mit gleicher Basis (x) zusammenfassen: \( x^8 \cdot x^{-3} = x^{8 + (-3)} = x^5 \) Dann bleibt noch die 9 als Faktor: \( 9 \cdot x^5 \) Das Ergebnis ist also: \[ 9x^5 \]

Accepted Answer

Der korrekte mathematische Ausdruck wäre nicht „eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral transferieren“. Stattdessen spricht man davon, eine Funktion zu **integrieren** oder das **... [mehr]

Accepted Answer

Der korrekte mathematische Ausdruck wäre nicht „eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral transferieren“. Stattdessen spricht man davon, eine Funktion zu **integrieren** oder das **unbestimmte Integral** einer Funktion zu bestimmen. Das Ergebnis ist dann die **Stammfunktion**. Wenn du zum Beispiel die Gleichung \( f(x) = 2x \) hast, dann kannst du das unbestimmte Integral von \( f(x) \) berechnen, also \( \int 2x \, dx = x^2 + C \), wobei \( C \) die Integrationskonstante ist. Man sagt also: - „Die Funktion \( f(x) \) integrieren“ - „Das unbestimmte Integral von \( f(x) \) bestimmen“ - „Die Stammfunktion von \( f(x) \) berechnen“ Der Begriff „transferieren“ wird in diesem Zusammenhang nicht verwendet.

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Die Gleichung „ein halb mal X gleich 50“ kannst du mathematisch so aufschreiben: \[\frac{1}{2} \cdot x = 50\] Das ist die gesuchte Gleichung.

Accepted Answer

Die Gleichung „ein halb mal X gleich 50“ kannst du mathematisch so aufschreiben: \[\frac{1}{2} \cdot x = 50\] Das ist die gesuchte Gleichung.

Kategorie: Mathematik Tags: Gleichung Malnehmen Unbekannte

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\[ (5/7)^{17} \times (7/5)^{19} \] Zuerst kannst du die Potenzen zusammenfassen: \[ = (5/7)^{17} \times (7/5)^{19} = (5/7)^{17} \times (7/5)^{19} \] Das ist das gleiche wie: \[ = (5/7)^{17} \times... [mehr]

Accepted Answer

\[ (5/7)^{17} \times (7/5)^{19} \] Zuerst kannst du die Potenzen zusammenfassen: \[ = (5/7)^{17} \times (7/5)^{19} = (5/7)^{17} \times (7/5)^{19} \] Das ist das gleiche wie: \[ = (5/7)^{17} \times (7/5)^{19} = (5/7)^{17} \times (7/5)^{17} \times (7/5)^{2} \] Da \((5/7)^{17} \times (7/5)^{17} = 1\): \[ = 1 \times (7/5)^2 = (7/5)^2 = 49/25 \] **Vereinfacht ergibt der Ausdruck:** \[ \boxed{\dfrac{49}{25}} \]

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Um von der Gleichung \( 8 = \frac{1}{3^x} \) auf \( x^3 = \frac{1}{8} \) zu kommen, musst du die Gleichung so umformen, dass \( x \) isoliert wird und dann beide Seiten umstellen. Hier ist der Rechenw... [mehr]

Accepted Answer

Um von der Gleichung \( 8 = \frac{1}{3^x} \) auf \( x^3 = \frac{1}{8} \) zu kommen, musst du die Gleichung so umformen, dass \( x \) isoliert wird und dann beide Seiten umstellen. Hier ist der Rechenweg: 1. **Starte mit der Gleichung:** \[ 8 = \frac{1}{3^x} \] 2. **Beide Seiten mit \( 3^x \) multiplizieren:** \[ 8 \cdot 3^x = 1 \] 3. **Beide Seiten durch 8 teilen:** \[ 3^x = \frac{1}{8} \] 4. **Beide Seiten logarithmieren (z.B. mit dem natürlichen Logarithmus):** \[ \ln(3^x) = \ln\left(\frac{1}{8}\right) \] \[ x \cdot \ln(3) = -\ln(8) \] \[ x = \frac{-\ln(8)}{\ln(3)} \] 5. **Alternativ: Schreibe \( \frac{1}{8} \) als \( 8^{-1} \) und setze \( 3^x = 8^{-1} \):** \[ 3^x = 8^{-1} \] \[ 3^x = (2^3)^{-1} \] \[ 3^x = 2^{-3} \] 6. **Logarithmiere beide Seiten (z.B. mit Logarithmus zur Basis 3):** \[ x = \log_3(2^{-3}) \] \[ x = -3 \cdot \log_3(2) \] 7. **Jetzt möchtest du zu \( x^3 = \frac{1}{8} \) kommen.** Das ist eine andere Gleichung, die du erhältst, wenn du die ursprüngliche Gleichung umstellst, indem du beide Seiten mit der dritten Wurzel versiehst: \[ 3^x = \frac{1}{8} \] \[ x = \log_3\left(\frac{1}{8}\right) \] \[ x = \log_3(8^{-1}) = -\log_3(8) \] Jetzt betrachte die Gleichung \( x^3 = \frac{1}{8} \): \[ x^3 = \frac{1}{8} \] \[ x = \left(\frac{1}{8}\right)^{1/3} \] \[ x = \frac{1}{2} \] **Fazit:** Um von \( 8 = \frac{1}{3^x} \) auf \( x^3 = \frac{1}{8} \) zu kommen, musst du die Gleichung so umstellen, dass \( 3^x = \frac{1}{8} \) gilt, und dann die Variable \( x \) als Basis einer Potenz schreiben, sodass \( x^3 = \frac{1}{8} \) entsteht. Das ist mathematisch gesehen ein Umstellen der Gleichung und ein Wechsel der Variablenrolle. **Zusammengefasst:** Du stellst die Gleichung so um, dass die Variable \( x \) auf einer Seite als Basis mit Exponent 3 steht und auf der anderen Seite \( \frac{1}{8} \) ist. Das ist eine Umformung durch Potenzgesetze und Umstellen der Gleichung.

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Die Rechenaufgabe **540 : 9 : 12** kannst du kürzer als **540 : (9 × 12)** oder **540 : 108** darstellen. Das bedeutet: 540 geteilt durch 9 und das Ergebnis nochmal geteilt durch 12 ist... [mehr]

Accepted Answer

Die Rechenaufgabe **540 : 9 : 12** kannst du kürzer als **540 : (9 × 12)** oder **540 : 108** darstellen. Das bedeutet: 540 geteilt durch 9 und das Ergebnis nochmal geteilt durch 12 ist dasselbe wie 540 geteilt durch 108.

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] nach \( a \) auflösen möchtest. **Schritt 1: Schreibe die Gleichung auf** \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] **Schritt 2: Beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren** \[ a = 2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2} \] **Schritt 3: Alle Terme mit \( a \) auf eine Seite bringen** \[ a - 2^{-1/2} \cdot a = 1^{-1/2} \] \[ a (1 - 2^{-1/2}) = 1^{-1/2} \] **Schritt 4: Nach \( a \) auflösen** \[ a = \frac{1^{-1/2}}{1 - 2^{-1/2}} \] **Schritt 5: Werte berechnen** - \( 1^{-1/2} = 1 \), weil jede Zahl hoch 0 ist 1 und jede Zahl hoch negativ ist der Kehrwert, aber 1 bleibt 1. - \( 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) Also: \[ a = \frac{1}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} \] **Schritt 6: Bruch vereinfachen** \[ a = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}} \] \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \] **Optional: Bruch rationalisieren** \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2 + \sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2} \] **Endergebnis:** \[ a = 2 + \sqrt{2} \] Das ist die Lösung für \( a \).

Accepted Answer

Der Ausdruck \( (y+1) \cdot (y-1) \) lässt sich mit der binomischen Formel vereinfachen: \[ (y+1) \cdot (y-1) = y^2 - 1 \] Das ist die Differenz zweier Quadrate.

Accepted Answer

Der Ausdruck \( (y+1) \cdot (y-1) \) lässt sich mit der binomischen Formel vereinfachen: \[ (y+1) \cdot (y-1) = y^2 - 1 \] Das ist die Differenz zweier Quadrate.

Kategorie: Mathematik Tags: Vereinfachung Binom Ausmultiplizieren