Wie vereinfacht man die Gleichung sin^4(x) - sin^2(x) + (sqrt(3)/2) + 1 = 0?

Um die Gleichung \( \sin^4(x) - \sin^2(x) + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 0 \) zu vereinfachen, kannst du eine Substitution verwenden. Setze \( y = \sin^2(x) \). Dann wird die Gleichung zu:

\[
y^2 - y + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 0
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
y^2 - y + \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0
\]

Berechne den konstanten Term:

\[
1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}
\]

Somit lautet die Gleichung:

\[
y^2 - y + \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 0
\]

Um die Lösungen für \( y \) zu finden, kannst du die Mitternachtsformel (quadratische Formel) anwenden:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Hier ist \( a = 1 \), \( b = -1 \) und \( c = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \). Setze diese Werte in die Formel ein:

\[
y = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2}}}{2 \cdot 1}
\]

Berechne den Diskriminanten:

\[
1 - 2(2 + \sqrt{3}) = 1 - 4 - 2\sqrt{3} = -3 - 2\sqrt{3}
\]

Da der Diskriminant negativ ist, hat die Gleichung keine reellen Lösungen. Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung keine reellen Werte für \( x \) hat, die sie erfüllen.