Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Finde die quadratische Funktion mit Extrempunkt bei x=3 und den Punkten A(0/1) und B(2/5).
Antwort vomUm die Funktion zweiten Grades in der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, die einen Extrempunkt bei \( x = 3 \) hat und durch die Punkte \( A(0, 1) \) und \( B(2, 5) \) verläuft, gehen wir wie folgt vor: 1. **Extrempunkt**: Der Extrempunkt einer Parabel \( f(x) = ax^2 + bx + c \) liegt bei \( x = -\frac{b}{2a} \). Da der Extrempunkt bei \( x = 3 \) liegt, gilt: \[ 3 = -\frac{b}{2a} \implies b = -6a \] 2. **Punkte einsetzen**: Wir setzen die Punkte \( A(0, 1) \) und \( B(2, 5) \) in die Funktion ein. Für Punkt A: \[ f(0) = c = 1 \] Für Punkt B: \[ f(2) = 4a + 2b + c = 5 \] Setzen wir \( c = 1 \) und \( b = -6a \) ein: \[ 4a + 2(-6a) + 1 = 5 \] \[ 4a - 12a + 1 = 5 \] \[ -8a + 1 = 5 \implies -8a = 4 \implies a = -\frac{1}{2} \] 3. **Berechnung von b**: Setzen wir \( a \) in die Gleichung für \( b \) ein: \[ b = -6a = -6 \left(-\frac{1}{2}\right) = 3 \] 4. **Funktion aufstellen**: Jetzt haben wir \( a \), \( b \) und \( c \): \[ a = -\frac{1}{2}, \quad b = 3, \quad c = 1 \] Die Funktion lautet also: \[ f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3x + 1 \] Zusammenfassend ist die gesuchte Funktion: \[ f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3x + 1 \]
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