3 Fragen zu Extrempunkt

Um die Funktion zweiten Grades in der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, die einen Extrempunkt bei \( x = 3 \) hat und durch die Punkte \( A(0, 1) \) und \( B(2, 5) \) verläuft, gehen wir wie folgt vor: 1. **Extrempunkt**: Der Extrempunkt einer Parabel \( f(x) = ax^2 + bx + c \) liegt bei \( x = -\frac{b}{2a} \). Da der Extrempunkt bei \( x = 3 \) liegt, gilt: \[ 3 = -\frac{b}{2a} \implies b = -6a \] 2. **Punkte einsetzen**: Wir setzen die Punkte \( A(0, 1) \) und \( B(2, 5) \) in die Funktion ein. Für Punkt A: \[ f(0) = c = 1 \] Für Punkt B: \[ f(2) = 4a + 2b + c = 5 \] Setzen wir \( c = 1 \) und \( b = -6a \) ein: \[ 4a + 2(-6a) + 1 = 5 \] \[ 4a - 12a + 1 = 5 \] \[ -8a + 1 = 5 \implies -8a = 4 \implies a = -\frac{1}{2} \] 3. **Berechnung von b**: Setzen wir \( a \) in die Gleichung für \( b \) ein: \[ b = -6a = -6 \left(-\frac{1}{2}\right) = 3 \] 4. **Funktion aufstellen**: Jetzt haben wir \( a \), \( b \) und \( c \): \[ a = -\frac{1}{2}, \quad b = 3, \quad c = 1 \] Die Funktion lautet also: \[ f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3x + 1 \] Zusammenfassend ist die gesuchte Funktion: \[ f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3x + 1 \]

Um den Extrempunkt der Funktionenschar \( f_a(x) = ax \) für \( a = 1, 2, 3 \) zu bestimmen, betrachten wir die Ableitung der Funktion. Die Funktion \( f_a(x) \) ist eine lineare Funktion, deren Graph eine Gerade ist. Lineare Funktionen haben keine Extrempunkte, da sie entweder monoton steigend oder fallend sind. Für \( a = 1, 2, 3 \) sind die Funktionen: - \( f_1(x) = 1x \) - \( f_2(x) = 2x \) - \( f_3(x) = 3x \) Alle diese Funktionen haben keine Extrempunkte, da sie keine Wendepunkte oder Maxima/Minima aufweisen. Zusammenfassend: Die Funktionenschar hat für alle \( a \) keine Extrempunkte.

Um den Extrempunkt der Funktion \( f_a(x) = \frac{x}{e^{ax}} \) zu bestimmen, müssen wir die Ableitung der Funktion bilden und diese gleich null setzen. 1. **Ableitung berechnen**: Wir verwenden die Quotientenregel für die Ableitung: \[ f_a'(x) = \frac{(e^{ax} \cdot 1) - (x \cdot a e^{ax})}{(e^{ax})^2} = \frac{e^{ax} - a x e^{ax}}{e^{2ax}} = \frac{e^{ax}(1 - ax)}{e^{2ax}} = \frac{1 - ax}{e^{ax}} \] 2. **Extrempunkte finden**: Setze die Ableitung gleich null: \[ f_a'(x) = 0 \implies 1 - ax = 0 \implies ax = 1 \implies x = \frac{1}{a} \] 3. **Extrempunkt bestimmen**: Um den Extrempunkt zu finden, setzen wir \( x = \frac{1}{a} \) in die Funktion \( f_a(x) \) ein: \[ f_a\left(\frac{1}{a}\right) = \frac{\frac{1}{a}}{e^{a \cdot \frac{1}{a}}} = \frac{\frac{1}{a}}{e} = \frac{1}{ae} \] 4. **Ergebnisse für verschiedene Werte von a**: - Für \( a = 1 \): \[ x = 1, \quad f_1(1) = \frac{1}{e} \] - Für \( a = 2 \): \[ x = \frac{1}{2}, \quad f_2\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2e} \] - Für \( a = 3 \): \[ x = \frac{1}{3}, \quad f_3\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3e} \] Zusammenfassend sind die Extrempunkte der Funktionenschar \( f_a(x) \) in Abhängigkeit von \( a \): - Für \( a = 1 \): Extrempunkt \( \left(1, \frac{1}{e}\right) \) - Für \( a = 2 \): Extrempunkt \( \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2e}\right) \) - Für \( a = 3 \): Extrempunkt \( \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3e}\right) \)