Bestimme den Extrempunkt der Funktionenschar fa(x) = x/e^(ax) für a = 1, 2, 3.

Um den Extrempunkt der Funktion \( f_a(x) = \frac{x}{e^{ax}} \) zu bestimmen, müssen wir die Ableitung der Funktion bilden und diese gleich null setzen.

1. **Ableitung berechnen**:
Wir verwenden die Quotientenregel für die Ableitung:
\[
f_a'(x) = \frac{(e^{ax} \cdot 1) - (x \cdot a e^{ax})}{(e^{ax})^2} = \frac{e^{ax} - a x e^{ax}}{e^{2ax}} = \frac{e^{ax}(1 - ax)}{e^{2ax}} = \frac{1 - ax}{e^{ax}}
\]

2. **Extrempunkte finden**:
Setze die Ableitung gleich null:
\[
f_a'(x) = 0 \implies 1 - ax = 0 \implies ax = 1 \implies x = \frac{1}{a}
\]

3. **Extrempunkt bestimmen**:
Um den Extrempunkt zu finden, setzen wir \( x = \frac{1}{a} \) in die Funktion \( f_a(x) \) ein:
\[
f_a\left(\frac{1}{a}\right) = \frac{\frac{1}{a}}{e^{a \cdot \frac{1}{a}}} = \frac{\frac{1}{a}}{e} = \frac{1}{ae}
\]

4. **Ergebnisse für verschiedene Werte von a**:
- Für \( a = 1 \):
\[
x = 1, \quad f_1(1) = \frac{1}{e}
\]
- Für \( a = 2 \):
\[
x = \frac{1}{2}, \quad f_2\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2e}
\]
- Für \( a = 3 \):
\[
x = \frac{1}{3}, \quad f_3\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3e}
\]

Zusammenfassend sind die Extrempunkte der Funktionenschar \( f_a(x) \) in Abhängigkeit von \( a \):
- Für \( a = 1 \): Extrempunkt \( \left(1, \frac{1}{e}\right) \)
- Für \( a = 2 \): Extrempunkt \( \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2e}\right) \)
- Für \( a = 3 \): Extrempunkt \( \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3e}\right) \)