Für f(t) = 2,5 · (1 - e^(0,1t)) ist die Ableitung: f'(t) = 2,5 · ( -0,1 · e^(0,1t) ) also vereinfacht: f'(t) = -0,25 · e^(0,1t) Ergebnis: f'(t) =...
Bestimme den Extrempunkt der Funktionenschar fa(x) = x/e^(ax) für a = 1, 2, 3.
Antwort vomUm den Extrempunkt der Funktion \( f_a(x) = \frac{x}{e^{ax}} \) zu bestimmen, müssen wir die Ableitung der Funktion bilden und diese gleich null setzen. 1. **Ableitung berechnen**: Wir verwenden die Quotientenregel für die Ableitung: \[ f_a'(x) = \frac{(e^{ax} \cdot 1) - (x \cdot a e^{ax})}{(e^{ax})^2} = \frac{e^{ax} - a x e^{ax}}{e^{2ax}} = \frac{e^{ax}(1 - ax)}{e^{2ax}} = \frac{1 - ax}{e^{ax}} \] 2. **Extrempunkte finden**: Setze die Ableitung gleich null: \[ f_a'(x) = 0 \implies 1 - ax = 0 \implies ax = 1 \implies x = \frac{1}{a} \] 3. **Extrempunkt bestimmen**: Um den Extrempunkt zu finden, setzen wir \( x = \frac{1}{a} \) in die Funktion \( f_a(x) \) ein: \[ f_a\left(\frac{1}{a}\right) = \frac{\frac{1}{a}}{e^{a \cdot \frac{1}{a}}} = \frac{\frac{1}{a}}{e} = \frac{1}{ae} \] 4. **Ergebnisse für verschiedene Werte von a**: - Für \( a = 1 \): \[ x = 1, \quad f_1(1) = \frac{1}{e} \] - Für \( a = 2 \): \[ x = \frac{1}{2}, \quad f_2\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2e} \] - Für \( a = 3 \): \[ x = \frac{1}{3}, \quad f_3\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3e} \] Zusammenfassend sind die Extrempunkte der Funktionenschar \( f_a(x) \) in Abhängigkeit von \( a \): - Für \( a = 1 \): Extrempunkt \( \left(1, \frac{1}{e}\right) \) - Für \( a = 2 \): Extrempunkt \( \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2e}\right) \) - Für \( a = 3 \): Extrempunkt \( \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3e}\right) \)
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