Was bedeutet K<-1 in Bezug auf Bild und Urbild?

In der Mathematik, insbesondere in der linearen Algebra, bezieht sich \( K \) oft auf eine Abbildung oder Transformation. Wenn du \( K \) als eine lineare Abbildung betrachtest, dann sind Bild und Urbild wichtige Konzepte.

1. **Bild (Image)**: Das Bild einer Abbildung \( K \) ist die Menge aller möglichen Ausgaben, die durch \( K \) erreicht werden können. Formal ist das Bild von \( K \) definiert als:
\[
\text{Bild}(K) = \{ K(x) \mid x \in \text{Dom}(K) \}
\]
Hierbei ist \(\text{Dom}(K)\) der Definitionsbereich von \( K \).

2. **Urbild (Preimage)**: Das Urbild einer Abbildung \( K \) ist die Menge aller Elemente im Definitionsbereich, die auf ein bestimmtes Element im Zielbereich abgebildet werden. Für ein Element \( y \) im Zielbereich ist das Urbild von \( y \) unter \( K \) definiert als:
\[
K^{-1}(y) = \{ x \in \text{Dom}(K) \mid K(x) = y \}
\]

Wenn \( K \) eine lineare Abbildung ist, dann ist \( K^{-1} \) die Umkehrabbildung, sofern \( K \) invertierbar ist. In deinem Fall, wenn \( K = -1 \), könnte es sich um eine Skalierung in einem Vektorraum handeln, bei der jeder Vektor mit \(-1\) multipliziert wird.

- **Bild von \( K \)**: Da \( K(x) = -x \) für jeden Vektor \( x \) im Definitionsbereich, ist das Bild von \( K \) der gesamte Vektorraum, weil jede mögliche Ausgabe durch die Multiplikation eines Vektors mit \(-1\) erreicht werden kann.

- **Urbild von \( K \)**: Für ein gegebenes \( y \) im Zielbereich ist das Urbild \( K^{-1}(y) = -y \), weil \( K(-y) = -(-y) = y \).

Diese Konzepte sind grundlegend in der linearen Algebra und helfen, die Struktur und Eigenschaften von linearen Abbildungen zu verstehen.