Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Seien f, g : R->R. Beweisen oder widerlegen: a) f, g beschränkt => f*g beschränkt, b) f, g monoton wachsend => f*g monoton wachsend.
Antwort vomUm die beiden Aussagen zu überprüfen, betrachten wir sie einzeln: a) **Aussage:** Wenn \( f \) und \( g \) beschränkt sind, dann ist \( f \cdot g \) ebenfalls beschränkt. **Beweis:** Sei \( f \) und \( g \) beschränkt, das heißt, es existieren reelle Zahlen \( M_f \) und \( M_g \) mit \( |f(x)| \leq M_f \) und \( |g(x)| \leq M_g \) für alle \( x \in \mathbb{R} \). Dann gilt: \[ |f(x) \cdot g(x)| \leq |f(x)| \cdot |g(x)| \leq M_f \cdot M_g \] für alle \( x \in \mathbb{R} \). Somit ist \( f \cdot g \) beschränkt, da es eine Konstante \( M_f \cdot M_g \) gibt, die das Produkt \( |f(x) \cdot g(x)| \) für alle \( x \) nach oben beschränkt. **Fazit:** Die Aussage ist wahr. b) **Aussage:** Wenn \( f \) und \( g \) monoton wachsend sind, dann ist \( f \cdot g \) ebenfalls monoton wachsend. **Widerlegung:** Betrachten wir die Funktionen \( f(x) = x \) und \( g(x) = -x \) für \( x \in \mathbb{R} \). Beide Funktionen sind monoton wachsend, da \( f(x_1) \leq f(x_2) \) und \( g(x_1) \leq g(x_2) \) für \( x_1 < x_2 \) gilt. Jedoch ist das Produkt: \[ f(x) \cdot g(x) = x \cdot (-x) = -x^2 \] Die Funktion \( -x^2 \) ist nicht monoton wachsend, da sie für \( x < 0 \) steigt und für \( x > 0 \) fällt. **Fazit:** Die Aussage ist falsch. Zusammenfassend: a) Wahr, b) Falsch.
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