(g○f)^-1 = f^-1 ○ g^-1: Warum gilt das?

Die Gleichung \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\) gilt aufgrund der Eigenschaften von Funktionen und deren Inversen. Hier ist die Erklärung:

1. **Definition der Verkettung**: Die Verkettung von zwei Funktionen \(f\) und \(g\) wird als \(g \circ f\) definiert, was bedeutet, dass du zuerst \(f\) anwendest und dann \(g\) auf das Ergebnis von \(f\).

2. **Inverse Funktion**: Eine Funktion \(f\) hat eine Inverse \(f^{-1}\), wenn \(f(f^{-1}(x)) = x\) und \(f^{-1}(f(x)) = x\) für alle \(x\) im Definitionsbereich von \(f\) gilt.

3. **Verkettung der Inversen**: Um zu zeigen, dass \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\) gilt, müssen wir zeigen, dass die Anwendung der rechten Seite auf ein beliebiges \(x\) das gleiche Ergebnis liefert wie die Anwendung der linken Seite.

- Beginne mit \(y = (g \circ f)(x)\). Das bedeutet, dass \(y = g(f(x))\).
- Um \(x\) in Abhängigkeit von \(y\) zu finden, wende zuerst die Inverse von \(g\) an: \(f(x) = g^{-1}(y)\).
- Jetzt wende die Inverse von \(f\) an: \(x = f^{-1}(g^{-1}(y))\).

4. **Zusammenfassung**: Das zeigt, dass die Anwendung von \(f^{-1} \circ g^{-1}\) auf \(y\) das ursprüngliche \(x\) zurückgibt. Daher gilt:

\[
(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}
\]

Diese Eigenschaft ist eine fundamentale Regel in der Funktionalanalysis und der Mathematik im Allgemeinen.