Für f(t) = 2,5 · (1 - e^(0,1t)) ist die Ableitung: f'(t) = 2,5 · ( -0,1 · e^(0,1t) ) also vereinfacht: f'(t) = -0,25 · e^(0,1t) Ergebnis: f'(t) =...
Bestimme die Tangentengleichung an den Graphen von f im Punkt P(1|f(1)) mit f(x)=(x-1)(x-3)^2.
Antwort vomUm die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion \( f(x) = (x-1)(x-3)^2 \) im Punkt \( P(1|f(1)) \) zu bestimmen, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Bestimme den Funktionswert \( f(1) \)**: \[ f(1) = (1-1)(1-3)^2 = 0 \cdot 4 = 0 \] Der Punkt \( P \) ist also \( (1, 0) \). 2. **Berechne die Ableitung \( f'(x) \)**: Um die Ableitung zu berechnen, verwenden wir die Produktregel. Setzen wir \( u = (x-1) \) und \( v = (x-3)^2 \): \[ f'(x) = u'v + uv' \] Hier ist \( u' = 1 \) und \( v' = 2(x-3) \). Somit ergibt sich: \[ f'(x) = 1 \cdot (x-3)^2 + (x-1) \cdot 2(x-3) \] Jetzt setzen wir \( x = 1 \) ein: \[ f'(1) = (1-3)^2 + (1-1) \cdot 2(1-3) = 4 + 0 = 4 \] 3. **Bestimme die Gleichung der Tangente**: Die Tangentengleichung hat die Form: \[ y - f(a) = f'(a)(x - a) \] Setzen wir \( a = 1 \), \( f(1) = 0 \) und \( f'(1) = 4 \) ein: \[ y - 0 = 4(x - 1) \] Das vereinfacht sich zu: \[ y = 4x - 4 \] Die Gleichung der Tangente an den Graphen von \( f \) im Punkt \( P(1|f(1)) \) ist also: \[ y = 4x - 4 \]
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