21 Fragen zu Tangente

Die Wasserbilanz in der Ost-West-Tangente der Münster, Bielefeld, Hannover, Magdeburg, Potsdam und Cottbus kann durch verschiedene Faktoren beeinflusst werden, darunter Klima, Topographie, Landnutzung und menschliche Aktivitäten. Hier sind einige allgemeine Aspekte, die die Wasserbilanz in diesen Regionen beeinflussen können: 1. **Niederschlag**: Der Niederschlag variiert entlang der Ost-West-Tangente. Im Westen (z.B. Münster) gibt es tendenziell mehr Niederschlag als im Osten (z.B. Cottbus). Dies beeinflusst die Menge an verfügbarem Wasser. 2. **Verdunstung**: Die Verdunstungsrate kann je nach Temperatur und Vegetation unterschiedlich sein. In wärmeren und trockeneren Gebieten ist die Verdunstung höher, was die Wasserbilanz negativ beeinflussen kann. 3. **Bodenbeschaffenheit**: Unterschiedliche Bodenarten haben unterschiedliche Wasserhaltekapazitäten. Sandige Böden (häufiger im Osten) lassen Wasser schneller versickern als lehmige Böden (häufiger im Westen). 4. **Landnutzung**: Landwirtschaft, Urbanisierung und Industrie beeinflussen die Wasserbilanz erheblich. Versiegelte Flächen in Städten wie Hannover und Magdeburg reduzieren die Versickerung und erhöhen den Oberflächenabfluss. 5. **Wasserentnahme und -nutzung**: Die Entnahme von Wasser für landwirtschaftliche Bewässerung, industrielle Nutzung und Trinkwasser kann die Wasserbilanz stark beeinflussen. Städte mit hoher Bevölkerungsdichte und Industrie, wie Hannover und Magdeburg, haben möglicherweise eine höhere Wasserentnahme. 6. **Klimawandel**: Langfristige Veränderungen im Klima können die Wasserbilanz beeinflussen, indem sie Niederschlagsmuster und Verdunstungsraten verändern. Für detaillierte und spezifische Informationen zur Wasserbilanz in diesen Städten wäre es ratsam, regionale hydrologische Studien oder Berichte von Umweltbehörden zu konsultieren.

Um die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion \( f(x) = 3x^2 - 2 \) an der Stelle \( x_0 = 2 \) zu bestimmen, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \( x_0 = 2 \):** \[ f(2) = 3 \cdot 2^2 - 2 = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10 \] Der Punkt auf dem Graphen ist also \( (2, 10) \). 2. **Berechnung der Ableitung der Funktion \( f(x) \):** \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 2) = 6x \] 3. **Berechnung des Wertes der Ableitung an der Stelle \( x_0 = 2 \):** \[ f'(2) = 6 \cdot 2 = 12 \] Die Steigung der Tangente an der Stelle \( x_0 = 2 \) ist also \( m = 12 \). 4. **Aufstellen der Tangentengleichung:** Die allgemeine Form der Tangentengleichung ist \( t(x) = m \cdot x + b \). Um den y-Achsenabschnitt \( b \) zu bestimmen, wird der Punkt \( (2, 10) \) in die Gleichung eingesetzt: \[ 10 = 12 \cdot 2 + b \] \[ 10 = 24 + b \] \[ b = 10 - 24 = -14 \] Die Gleichung der Tangente lautet also: \[ t(x) = 12x - 14 \]

Um die Gleichung der Tangente \( t(x) \) an der Stelle \( x_0 = 1 \) für die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) zu berechnen, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Bestimme den Funktionswert an der Stelle \( x_0 \)**: \[ f(1) = \frac{1}{1^2} = 1 \] 2. **Berechne die Ableitung \( f'(x) \)**: Die Ableitung von \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) kann mit der Potenzregel berechnet werden: \[ f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \] 3. **Bestimme die Ableitung an der Stelle \( x_0 \)**: \[ f'(1) = -\frac{2}{1^3} = -2 \] 4. **Verwende die Punkt-Steigungsform der Geradengleichung**: Die Gleichung der Tangente \( t(x) \) an der Stelle \( x_0 \) ist gegeben durch: \[ t(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \] Setze die Werte ein: \[ t(x) = 1 - 2(x - 1) \] 5. **Vereinfache die Gleichung**: \[ t(x) = 1 - 2x + 2 = -2x + 3 \] Die Gleichung der Tangente \( t(x) \) an der Stelle \( x_0 = 1 \) lautet also: \[ t(x) = -2x + 3 \]

Um zu bestimmen, ob die Funktion \( f(x) = \frac{1}{9}(3x + 2)^3 \) eine Tangente hat, die parallel zur x-Achse verläuft, musst du die Ableitung der Funktion berechnen und herausfinden, wo diese Ableitung gleich null ist. Eine Tangente ist parallel zur x-Achse, wenn die Steigung (also die Ableitung) null ist. 1. Berechne die Ableitung \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{1}{9} \cdot 3 \cdot (3x + 2)^2 \cdot 3 = \frac{1}{3}(3x + 2)^2 \] 2. Setze die Ableitung gleich null: \[ \frac{1}{3}(3x + 2)^2 = 0 \] Das bedeutet, dass \( (3x + 2)^2 = 0 \) sein muss. 3. Löse die Gleichung: \[ 3x + 2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x = -\frac{2}{3} \] 4. Überprüfe den Funktionswert an dieser Stelle: \[ f\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{9}(3 \cdot -\frac{2}{3} + 2)^3 = \frac{1}{9}(0)^3 = 0 \] Die Funktion hat also eine Tangente, die parallel zur x-Achse verläuft, bei \( x = -\frac{2}{3} \) und der Punkt ist \( \left(-\frac{2}{3}, 0\right) \).

Ja, das stimmt. Wenn eine Sekante durch zwei Punkte eines Funktionsgraphen auch eine Tangente an einem dieser Punkte ist, bedeutet das, dass die Steigung der Sekante gleich der Steigung der Tangente an diesem Punkt ist. Dies ist nur der Fall, wenn der Funktionsgraph eine lineare Funktion ist, also eine Gerade. Bei nicht-linearen Funktionen würde die Sekante und die Tangente unterschiedliche Steigungen haben, es sei denn, die Funktion ist konstant.

Die Aussage 2 ist falsch. Eine Tangente an den Graphen einer Funktion kann in bestimmten Fällen mehr als einen gemeinsamen Schnittpunkt mit dem Graphen haben. Dies geschieht beispielsweise, wenn die Funktion an einem Punkt einen Wendepunkt hat oder wenn die Tangente eine horizontale Linie ist, die den Graphen an mehreren Stellen berührt. In der Regel hat eine Tangente an einem Punkt der Funktion jedoch genau einen gemeinsamen Schnittpunkt, wenn die Funktion dort nicht flach ist und keine weiteren Berührungspunkte existieren.

Um die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion \( f(x) = x^2 - 2 \) im Punkt \( P(0, 5/f(0,5)) \) zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor: 1. **Bestimme den Funktionswert \( f(0.5) \)**: \[ f(0.5) = (0.5)^2 - 2 = 0.25 - 2 = -1.75 \] 2. **Bestimme die Koordinaten des Punktes \( P \)**: \[ P(0, 5/f(0.5)) = P(0, 5 / -1.75) = P(0, -\frac{20}{7}) \] 3. **Berechne die Ableitung \( f'(x) \)**: \[ f'(x) = 2x \] 4. **Bestimme die Steigung der Tangente im Punkt \( x = 0.5 \)**: \[ f'(0.5) = 2 \cdot 0.5 = 1 \] 5. **Verwende die Punkt-Steigungsform der Geradengleichung**: Die Gleichung der Tangente hat die Form: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] wobei \( m \) die Steigung und \( (x_1, y_1) \) die Koordinaten des Punktes \( P \) sind. Setze \( m = 1 \), \( x_1 = 0 \) und \( y_1 = -\frac{20}{7} \) ein: \[ y - \left(-\frac{20}{7}\right) = 1(x - 0) \] Das vereinfacht sich zu: \[ y + \frac{20}{7} = x \] oder \[ y = x - \frac{20}{7} \] Die Gleichung der Tangente an den Graphen von \( f \) im Punkt \( P(0, -\frac{20}{7}) \) lautet also: \[ y = x - \frac{20}{7} \]

Um die Punkte des Grafen der Funktion \( f(x) = (x-1)(x-3)^2 \) mit waagerechter Tangente zu bestimmen, musst du die Ableitung der Funktion berechnen und diese gleich null setzen. 1. **Ableitung berechnen**: Zuerst wenden wir die Produktregel an. Die Funktion kann als \( u(x) = (x-1) \) und \( v(x) = (x-3)^2 \) betrachtet werden. Die Ableitung \( f'(x) \) ist dann: \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] Dabei ist \( u'(x) = 1 \) und \( v'(x) = 2(x-3) \). Setzen wir das ein: \[ f'(x) = 1 \cdot (x-3)^2 + (x-1) \cdot 2(x-3) \] \[ = (x-3)^2 + 2-1)(x-3) \] Jetzt vereinfachen wir das: \[ = (x-3)^2 + 2(x^2 - 4x + 3) \] \[ = (x-3)^2 + 2x^2 - 8x + 6 \] \[ = x^2 - 6x + 9 + 2x^2 - 8x + 6 \] \[ = 3x^2 - 14x + 15 \] 2. **Waagerechte Tangente finden**: Setze die Ableitung gleich null: \[ 3x^2 - 14x + 15 = 0 \] Um die Nullstellen zu finden, verwenden wir die Mitternachtsformel: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3} \] \[ = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6} = \frac{14 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{14 \pm 4}{6} \] Das ergibt zwei Lösungen: \[ x_1 = \frac{18}{6} = 3 \quad \text{und} \quad x_2 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \] 3. **Koordinaten der Punkte bestimmen**: Jetzt berechnen wir die Funktionswerte an diesen Stellen: Für \( x_1 = 3 \): \[ f(3) = (3-1)(3-3)^2 = 2 \cdot 0 = 0 \] Der Punkt ist \( (3, 0) \). Für \( x_2 = \frac{5}{3} \): \[ f\left(\frac{5}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}-1\right)\left(\frac{5}{3}-3\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{4}{3}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{16}{9} = \frac{32}{27} \] Der Punkt ist \( \left(\frac{5}{3}, \frac{32}{27}\right) \). Zusammenfassend sind die Punkte des Grafen von \( f \) mit waagerechter Tangente: - \( (3, 0) \) - \( \left(\frac{5}{3}, \frac{32}{27}\right) \)

Um die Punkte zu finden, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion \( f(x) = \frac{1}{9} (3x + 2)^3 \) die Steigung 1 hat, musst du zuerst die Ableitung der Funktion bestimmen und dann die Gleichung \( f'(x) = 1 \ lösen. 1. **Ableitung berechnen**: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{9} (3x + 2)^3 \right) \] Verwende die Kettenregel: \[ f'(x) = \frac{1}{9} \cdot 3(3x + 2)^2 \cdot 3 = \frac{1}{9} \cdot 9(3x + 2)^2 = (3x + 2)^2 \] 2. **Steigung gleich 1 setzen**: \[ (3x + 2)^2 = 1 \] 3. **Gleichung lösen**: \[ 3x + 2 = 1 \quad \text{oder} \quad 3x + 2 = -1 \] Für \( 3x + 2 = 1 \): \[ 3x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{3} \] Für \( 3x + 2 = -1 \): \[ 3x = -3 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \] 4. **Punkte finden**: Setze die \( x \)-Werte in die Funktion \( f(x) \) ein, um die entsprechenden \( y \)-Werte zu finden. Für \( x = -\frac{1}{3} \): \[ f\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9} \left(3 \cdot -\frac{1}{3} + 2\right)^3 = \frac{1}{9} (1)^3 = \frac{1}{9} \] Für \( x = -1 \): \[ f(-1) = \frac{1}{9} (3 \cdot -1 + 2)^3 = \frac{1}{9} (-1)^3 = -\frac{1}{9} \] Die Punkte, an denen die Tangente an den Graphen von \( f \) die Steigung 1 hat, sind also: \[ \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{9}\right) \quad \text{und} \quad (-1, -\frac{1}{9}). \]

Um die Punkte zu finden, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion \( f(x) = x^3 \) die Steigung 75 hat, musst du die Ableitung der Funktion berechnen und diese gleich 75 setzen. 1. Berechne die Ableitung von \( f(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 \] 2. Setze die Ableitung gleich 75: \[ 3x^2 = 75 \] 3. Teile beide Seiten durch 3: \[ x^2 = 25 \] 4. Ziehe die Quadratwurzel: \[ x = 5 \quad \text{oder} \quad x = -5 \] Jetzt hast du die x-Werte, an denen die Tangente die Steigung 75 hat. Um die entsprechenden y-Werte zu finden, setze die x-Werte in die ursprüngliche Funktion ein: - Für \( x = 5 \): \[ f(5) = 5^3 = 125 \] - Für \( x = -5 \): \[ f(-5) = (-5)^3 = -125 \] Die Punkte, an denen die Tangente die Steigung 75 hat, sind also \( (5, 125) \) und \( (-5, -125) \).

Um die Punkte zu finden, an denen die Tangente an den Graphen von \( f(x) = x^3 \) parallel zur Geraden \( y = 3x + 4 \) ist, musst du die Ableitung von \( f(x) \) bestimmen und diese gleich der Steigung der Geraden setzen. 1. Bestimme die Ableitung von \( f(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 \] 2. Setze die Ableitung gleich der Steigung der Geraden: \[ 3x^2 = 3 \] 3. Löse die Gleichung: \[ x^2 = 1 \implies x = 1 \quad \text{oder} \quad x = -1 \] 4. Bestimme die y-Werte für diese x-Werte: - Für \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^3 = 1 \quad \Rightarrow \quad (1, 1) \] - Für \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^3 = -1 \quad \Rightarrow \quad (-1, -1) \] Die Tangente an den Graphen von \( f(x) = x^3 \) ist also an den Punkten \( (1, 1) \) und \( (-1, -1) \) parallel zur Geraden \( y = 3x + 4 \).

Um die Punkte zu finden, an denen die Tangente an den Graphen von \( f(x) = x^2 \) parallel zur Geraden \( y = 3x + 4 \) ist, musst du die Steigung der Geraden bestimmen. Die Steigung der Geraden ist 3. Die Steigung der Tangente an den Graphen von \( f(x) \) wird durch die Ableitung \( f'(x) \) gegeben. Zuerst berechnen wir die Ableitung: \[ f'(x) = 2x \] Nun setzen wir die Steigung der Tangente gleich der Steigung der Geraden: \[ 2x = 3 \] Um \( x \) zu finden, teilen wir beide Seiten durch 2: \[ x = \frac{3}{2} \] Jetzt setzen wir \( x = \frac{3}{2} \) in die Funktion \( f(x) \) ein, um den y-Wert des Punktes zu finden: \[ f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \] Der Punkt, an dem die Tangente parallel zur Geraden \( y = 3x + 4 \) ist, ist also: \[ \left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) \]

Um die Punkte zu finden, an denen die Tangente an den Graphen von \( f(x) = x^3 \) parallel zur Geraden \( y = 3x + 4 \) ist, musst du die Ableitung von \( f(x) \) bestimmen und diese gleich der Steigung der Geraden setzen. 1. Bestimme die Ableitung von \( f(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 \] 2. Setze die Ableitung gleich der Steigung der Geraden: \[ 3x^2 = 3 \] 3. Löse die Gleichung: \[ x^2 = 1 \implies x = 1 \quad \text{oder} \quad x = -1 \] 4. Bestimme die y-Werte für diese x-Werte: - Für \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^3 = 1 \quad \Rightarrow \quad (1, 1) \] - Für \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^3 = -1 \quad \Rightarrow \quad (-1, -1) \] Die Punkte, an denen die Tangente an den Graphen von \( f(x) = x^3 \) parallel zur Geraden \( y = 3x + 4 \) ist, sind also \( (1, 1) \) und \( (-1, -1) \).

Um die Punkte zu finden, an denen die Tangente an den Graphen von \( f(x) = \frac{3}{2} \) parallel zur Geraden \( y = 3x + 4 \) ist, musst du die Ableitung von \( f(x) \) bestimmen und diese gleich der Steigung der Geraden setzen. Die Steigung der Geraden \( y = 3x + 4 \) ist 3. 1. Bestimme die Ableitung von \( f(x) \): \[ f'(x) = 0 \] Da \( f(x) = \frac{3}{2} \) eine Konstante ist, ist die Ableitung überall 0. 2. Setze die Ableitung gleich der Steigung der Geraden: \[ 0 = 3 \] Dies ist nicht möglich, was bedeutet, dass es keine Punkte gibt, an denen die Tangente an den Graphen von \( f(x) \) parallel zur gegebenen Geraden ist. Zusammenfassend gibt es keine Punkte im Graphen von \( f(x) = \frac{3}{2} \), an denen die Tangente parallel zur Geraden \( y = 3x + 4 \) ist.

Es ist nicht möglich, alle Tangenten eines Kreises zu zeichnen, weil es unendlich viele Tangenten gibt. Eine Tangente ist eine gerade Linie, die einen Kreis an genau einem Punkt berührt. Da ein Kreis unendlich viele Punkte auf seinem Umfang hat, gibt es auch unendlich viele mögliche Tangenten. Es ist daher praktisch unmöglich, alle diese Tangenten zu zeichnen.