In welchen Punkten hat der Graph f(x)=x^3 eine Tangente mit der Steigung 75?

Question

In welchen Punkten hat der Graph f(x)=x^3 eine Tangente mit der Steigung 75?

Antwort

Verwandte Fragen

Wie kann man aus Testdaten die Steigung ermitteln?

Wie bestimme ich den größten Funktionswert von f im Intervall [-4;5] anhand eines Graphen?

Accepted Answer

Um die Punkte zu finden, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion \( f(x) = x^3 \) die Steigung 75 hat, musst du die Ableitung der Funktion berechnen und diese gleich 75 setzen. 1. Berechne die Ableitung von \( f(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 \] 2. Setze die Ableitung gleich 75: \[ 3x^2 = 75 \] 3. Teile beide Seiten durch 3: \[ x^2 = 25 \] 4. Ziehe die Quadratwurzel: \[ x = 5 \quad \text{oder} \quad x = -5 \] Jetzt hast du die x-Werte, an denen die Tangente die Steigung 75 hat. Um die entsprechenden y-Werte zu finden, setze die x-Werte in die ursprüngliche Funktion ein: - Für \( x = 5 \): \[ f(5) = 5^3 = 125 \] - Für \( x = -5 \): \[ f(-5) = (-5)^3 = -125 \] Die Punkte, an denen die Tangente die Steigung 75 hat, sind also \( (5, 125) \) und \( (-5, -125) \).

Accepted Answer

Um die Steigung aus Testdaten zu ermitteln, wird meist eine lineare Regression verwendet. Dabei wird eine Gerade der Form \( y = mx + b \) an die Datenpunkte angepasst. Die Steigung \( m \) gibt an, w... [mehr]

Accepted Answer

Um die Steigung aus Testdaten zu ermitteln, wird meist eine lineare Regression verwendet. Dabei wird eine Gerade der Form \( y = mx + b \) an die Datenpunkte angepasst. Die Steigung \( m \) gibt an, wie stark sich \( y \) verändert, wenn sich \( x \) um eine Einheit ändert. **Vorgehen:** 1. **Daten sammeln:** Du benötigst mindestens zwei Wertepaare \((x_1, y_1)\) und \((x_2, y_2)\). Bei mehr Datenpunkten ist eine Regression sinnvoll. 2. **Berechnung bei zwei Punkten:** \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] 3. **Berechnung bei mehreren Punkten (lineare Regression):** \[ m = \frac{n\sum(xy) - \sum x \sum y}{n\sum(x^2) - (\sum x)^2} \] Dabei ist \( n \) die Anzahl der Datenpunkte. **Beispiel:** Angenommen, du hast folgende Testdaten: - \( (1, 2) \) - \( (2, 4) \) - \( (3, 6) \) Dann ist die Steigung: \[ m = \frac{(2-1)}{(4-2)} = \frac{2}{1} = 2 \] Oder mit Regression (bei mehr Punkten) entsprechend der Formel oben. **Tools:** Für größere Datensätze empfiehlt sich die Nutzung von Excel, Python (z.B. mit [NumPy](https://numpy.org/)), oder Online-Rechnern für lineare Regression. **Zusammenfassung:** - Bei zwei Punkten: Differenzquotient. - Bei mehreren Punkten: Lineare Regression. Falls du konkrete Testdaten hast, kann die Steigung auch direkt berechnet werden.

Accepted Answer

Wenn in einer Aufgabe verlangt wird, den größten Funktionswert von \( f \) auf dem Intervall \( D_f = [-4; 5] \) anzugeben und du einen Graphen der Funktion vorliegen hast, gehst du folgend... [mehr]

Accepted Answer

Wenn in einer Aufgabe verlangt wird, den größten Funktionswert von \( f \) auf dem Intervall \( D_f = [-4; 5] \) anzugeben und du einen Graphen der Funktion vorliegen hast, gehst du folgendermaßen vor: 1. **Suche das Intervall:** Schau auf dem Graphen nach, wo die x-Werte von \(-4\) bis \(5\) liegen. 2. **Lies die Funktionswerte ab:** Sieh dir an, welche y-Werte (Funktionswerte) die Funktion in diesem Bereich annimmt. 3. **Finde das Maximum:** Suche den höchsten Punkt des Graphen im Intervall \([-4; 5]\). Das ist der größte Funktionswert. 4. **Berücksichtige Randwerte:** Überprüfe auch die Funktionswerte an den Randpunkten \(x = -4\) und \(x = 5\), da das Maximum auch dort liegen kann. 5. **Antwort notieren:** Schreibe den größten abgelesenen y-Wert als Antwort auf. Falls verlangt, gib auch die zugehörige x-Stelle an. **Beispiel:** Wenn du am Graphen abliest, dass der höchste Punkt im Intervall bei \(x = 2\) liegt und dort \(f(2) = 7\) ist, dann ist der größte Funktionswert \(7\). **Zusammengefasst:** Der größte Funktionswert ist der höchste y-Wert, den du im angegebenen Intervall am Graphen ablesen kannst.