8 Fragen zu Funktionswert

Wenn die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt einer Funktion \( f \ lautet, dass \( f(x_0) = 0 \), bedeutet dies, dass der Funktionswert an der Stelle \( x_0 \) gleich null ist. Diese Bedingung allein sagt jedoch noch nichts über die Art des Extrempunkts (Minimum oder Maximum) oder über die Funktion selbst aus. Es ist lediglich ein Hinweis darauf, dass \( x_0 \) ein kritischer Punkt sein könnte, an dem die Funktion möglicherweise ein Extremum erreicht. Um die Art des Extrempunkts zu bestimmen, sind zusätzliche Bedingungen, wie die Untersuchung der ersten und zweiten Ableitung, erforderlich.

Um die Eigenschaften der Funktionen und die Veränderung des Funktionswerts zu analysieren, betrachten wir die beiden gegebenen Funktionen: a) \( y = -\frac{1}{3} \times 5^x \) - **Eigenschaften**: - Exponentielles Wachstum: Da die Basis \( 5 \) größer als \( 1 \) ist, wächst die Funktion exponentiell. - Der Funktionswert ist immer negativ, da er mit \(-\frac{1}{3}\) multipliziert wird. - Der Funktionswert nähert sich \( 0 \) (von unten) an, wenn \( x \) gegen \(-\infty\) geht. - **Veränderung des Funktionswerts**: - Wenn \( x \) um \( 2 \) anwächst: \( y(2) = -\frac{1}{3} \times 5^{x+2} = -\frac{1}{3} \times 5^x \times 25 \) (Funktionswert wird um den Faktor \( 25 \) multipliziert). - Wenn \( x \) um \( 0,5 \) anwächst: \( y(0,5) = -\frac{1}{3} \times 5^{x+0,5} = -\frac{1}{3} \times 5^x \times \sqrt{5} \) (Funktionswert wird um den Faktor \( \sqrt{5} \) multipliziert). - Wenn \( x \) um \( 1,5 \) anwächst: \( y(1,5) = -\frac{1}{3} \times 5^{x+1,5} = -\frac{1}{3} \times 5^x \times 5\sqrt{5} \) (Funktionswert wird um den Faktor \( 5\sqrt{5} \) multipliziert). b) \( y = -3 \times 0,5^x \) - **Eigenschaften**: - Exponentieller Zerfall: Da die Basis \( 0,5 \) kleiner als \( 1 \) ist, fällt die Funktion exponentiell. - Der Funktionswert ist immer negativ, da er mit \(-3\) multipliziert wird. - Der Funktionswert nähert sich \( 0 \) (von unten) an, wenn \( x \) gegen \(\infty\) geht. - **Veränderung des Funktionswerts**: - Wenn \( x \) um \( 2 \) anwächst: \( y(2) = -3 \times 0,5^{x+2} = -3 \times 0,5^x \times 0,25 \) (Funktionswert wird um den Faktor \( 0,25 \) multipliziert). - Wenn \( x \) um \( 0,5 \) anwächst: \( y(0,5) = -3 \times 0,5^{x+0,5} = -3 \times 0,5^x \times \sqrt{0,5} \) (Funktionswert wird um den Faktor \( \sqrt{0,5} \) multipliziert). - Wenn \( x \) um \( 1,5 \) anwächst: \( y(1,5) = -3 \times 0,5^{x+1,5} = -3 \times 0,5^x \times 0,5\sqrt{0,5} \) (Funktionswert wird um den Faktor \( 0,5\sqrt{0,5} \) multipliziert). Zusammenfassend verändern sich die Funktionswerte der beiden Funktionen unterschiedlich, je nachdem, ob \( x \) um \( 2 \), \( 0,5 \) oder \( 1,5 \) anwächst.

Ein Funktionswert ist das Ergebnis, das man erhält, wenn man eine bestimmte Eingabe (auch Argument oder unabhängige Variable genannt) in eine Funktion einsetzt. Mathematisch ausgedrückt, wenn \( f \) eine Funktion ist und \( x \) eine Eingabe, dann ist der Funktionswert \( f(x) \) das Ergebnis der Funktion \( f \) bei der Eingabe \( x \). Beispiel: Wenn die Funktion \( f(x) = 2x + 3 \) ist und du \( x = 4 \) einsetzt, dann ist der Funktionswert \( f(4) = 2 \cdot 4 + 3 = 11 \).

Um die Stelle zu bestimmen, an der die Funktion \( f(x) = \frac{2}{3}x - 4 \) den Funktionswert 5 annimmt, setzt man die Funktion gleich 5: \[ \frac{2}{3}x - 4 = 5 \] Nun löst man die Gleichung: 1. Addiere 4 zu beiden Seiten: \[ \frac{2}{3}x = 9 \] 2. Multipliziere beide Seiten mit \(\frac{3}{2}\), um \(x\) zu isolieren: \[ x = 9 \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 \] Die Stelle, an der die Funktion den Funktionswert 5 annimmt, ist also \( x = 13.5 \).

Um die Stelle zu bestimmen, an der die Funktion \( f(x) = \frac{2}{3}x - 4 \) den Funktionswert 5 annimmt, setzt man die Funktion gleich 5: \[ \frac{2}{3}x - 4 = 5 \] Nun löst man die Gleichung: 1. Addiere 4 zu beiden Seiten: \[ \frac{2}{3}x = 9 \] 2. Multipliziere beide Seiten mit \(\frac{3}{2}\), um \(x\) zu isolieren: \[ x = 9 \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 \] Die Stelle, an der die Funktion den Funktionswert 5 annimmt, ist also \( x = 13.5 \).

Richtig. Wenn du die Funktion \( f(x) = b^x + c \) an der Stelle \( x = 1 \) betrachtest, erhältst du: \[ f(1) = b^1 + c = b + c. \] Somit hat die Funktion an der Stelle \( x = 1 \) tatsächlich den Funktionswert \( b + c \).

Um die Stelle zu finden, an der der Graph von \( f(x) = 2x^2 \) einen Funktionswert von 162 hat, setzt du die Gleichung auf: \[ 2x^2 = 162. \] Teile beide Seiten durch 2: \[ x^2 = 81. \] Nun ziehe die Quadratwurzel: \[ x = \pm 9. \] Die Stellen, an denen der Graph von \( f(x) \) einen Funktionswert von 162 hat, sind also \( x = 9 \) und \( x = -9 \).

Um die Frage zu beantworten, bei welchem ganzzahligen x-Wert es die meisten ganzzahligen Funktionswerte gibt, müsste man die spezifische Funktion kennen, die betrachtet wird. Generell hängt die Anzahl der ganzzahligen Funktionswerte von der Art der Funktion ab (z.B. linear, quadratisch, trigonometrisch usw.) und deren Definitionsbereich. Wenn du eine bestimmte Funktion im Sinn hast, teile diese bitte mit, damit eine genauere Analyse durchgeführt werden kann.