Nenne die Eigenschaften und den Funktionswert bei Änderungen von x für y=-1/3×5^x und y=-3×0,5^x.

Question

Nenne die Eigenschaften und den Funktionswert bei Änderungen von x für y=-1/3×5^x und y=-3×0,5^x.

Antwort

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Welche Eigenschaften kann eine Sinusfunktion besitzen?

Welche Eigenschaften haben Verbindungsvektoren?

Welche Eigenschaften haben Vektoren?

Woran erkenne ich ein Parallelogramm?

Accepted Answer

Um die Eigenschaften der Funktionen und die Veränderung des Funktionswerts zu analysieren, betrachten wir die beiden gegebenen Funktionen: a) \( y = -\frac{1}{3} \times 5^x \) - **Eigenschaften**: - Exponentielles Wachstum: Da die Basis \( 5 \) größer als \( 1 \) ist, wächst die Funktion exponentiell. - Der Funktionswert ist immer negativ, da er mit \(-\frac{1}{3}\) multipliziert wird. - Der Funktionswert nähert sich \( 0 \) (von unten) an, wenn \( x \) gegen \(-\infty\) geht. - **Veränderung des Funktionswerts**: - Wenn \( x \) um \( 2 \) anwächst: \( y(2) = -\frac{1}{3} \times 5^{x+2} = -\frac{1}{3} \times 5^x \times 25 \) (Funktionswert wird um den Faktor \( 25 \) multipliziert). - Wenn \( x \) um \( 0,5 \) anwächst: \( y(0,5) = -\frac{1}{3} \times 5^{x+0,5} = -\frac{1}{3} \times 5^x \times \sqrt{5} \) (Funktionswert wird um den Faktor \( \sqrt{5} \) multipliziert). - Wenn \( x \) um \( 1,5 \) anwächst: \( y(1,5) = -\frac{1}{3} \times 5^{x+1,5} = -\frac{1}{3} \times 5^x \times 5\sqrt{5} \) (Funktionswert wird um den Faktor \( 5\sqrt{5} \) multipliziert). b) \( y = -3 \times 0,5^x \) - **Eigenschaften**: - Exponentieller Zerfall: Da die Basis \( 0,5 \) kleiner als \( 1 \) ist, fällt die Funktion exponentiell. - Der Funktionswert ist immer negativ, da er mit \(-3\) multipliziert wird. - Der Funktionswert nähert sich \( 0 \) (von unten) an, wenn \( x \) gegen \(\infty\) geht. - **Veränderung des Funktionswerts**: - Wenn \( x \) um \( 2 \) anwächst: \( y(2) = -3 \times 0,5^{x+2} = -3 \times 0,5^x \times 0,25 \) (Funktionswert wird um den Faktor \( 0,25 \) multipliziert). - Wenn \( x \) um \( 0,5 \) anwächst: \( y(0,5) = -3 \times 0,5^{x+0,5} = -3 \times 0,5^x \times \sqrt{0,5} \) (Funktionswert wird um den Faktor \( \sqrt{0,5} \) multipliziert). - Wenn \( x \) um \( 1,5 \) anwächst: \( y(1,5) = -3 \times 0,5^{x+1,5} = -3 \times 0,5^x \times 0,5\sqrt{0,5} \) (Funktionswert wird um den Faktor \( 0,5\sqrt{0,5} \) multipliziert). Zusammenfassend verändern sich die Funktionswerte der beiden Funktionen unterschiedlich, je nachdem, ob \( x \) um \( 2 \), \( 0,5 \) oder \( 1,5 \) anwächst.

Accepted Answer

Bei einer Sinusfunktion, meist in der Form \( f(x) = a \cdot \sin(bx + c) + d \), können folgende Eigenschaften angegeben werden: 1. **Amplitude** (\(a\)): Gibt die maximale Auslenkung vom Mitte... [mehr]

Accepted Answer

Bei einer Sinusfunktion, meist in der Form \( f(x) = a \cdot \sin(bx + c) + d \), können folgende Eigenschaften angegeben werden: 1. **Amplitude** (\(a\)): Gibt die maximale Auslenkung vom Mittelwert an (Betrag von \(a\)). 2. **Periode**: Die Länge eines vollständigen Zyklus, berechnet als \( \frac{2\pi}{|b|} \). 3. **Frequenz**: Anzahl der Schwingungen pro Einheit, berechnet als \( \frac{|b|}{2\pi} \). 4. **Phasenverschiebung** (\(c\)): Verschiebung entlang der x-Achse, berechnet als \( -\frac{c}{b} \). 5. **Vertikale Verschiebung** (\(d\)): Verschiebung entlang der y-Achse. 6. **Nullstellen**: Die x-Werte, bei denen die Funktion den Wert 0 annimmt. 7. **Maxima und Minima**: Die höchsten und tiefsten Punkte der Funktion. 8. **Symmetrie**: Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (bei Standardform). 9. **Definitionsbereich**: Meist ganz \(\mathbb{R}\). 10. **Wertebereich**: Von \(d-a\) bis \(d+a\). 11. **Ableitung**: Die Ableitung einer Sinusfunktion ist eine Kosinusfunktion. 12. **Stetigkeit und Differenzierbarkeit**: Die Sinusfunktion ist überall stetig und differenzierbar. 13. **Monotonie**: Abschnitte, in denen die Funktion steigt oder fällt. Diese Eigenschaften beschreiben das Verhalten und die Form einer Sinusfunktion umfassend.

Accepted Answer

Ein Verbindungsvektor ist ein Vektor, der zwei Punkte im Raum miteinander verbindet. Die wichtigsten Eigenschaften von Verbindungsvektoren sind: 1. **Definition**: Der Verbindungsvektor \(\vec{A... [mehr]

Accepted Answer

Ein Verbindungsvektor ist ein Vektor, der zwei Punkte im Raum miteinander verbindet. Die wichtigsten Eigenschaften von Verbindungsvektoren sind: 1. **Definition**: Der Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) zwischen den Punkten \(A(x_1, y_1, z_1)\) und \(B(x_2, y_2, z_2)\) ist \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{pmatrix}\). 2. **Richtung**: Der Verbindungsvektor zeigt immer vom Anfangspunkt (hier \(A\)) zum Endpunkt (hier \(B\)). 3. **Betrag (Länge)**: Die Länge des Verbindungsvektors entspricht dem Abstand der beiden Punkte: \(|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\). 4. **Verschiebungsunabhängigkeit**: Verbindungsvektoren sind ortsunabhängig, d.h. sie beschreiben nur die Verschiebung von \(A\) nach \(B\), nicht die absolute Lage im Raum. 5. **Gegensinnigkeit**: \(\vec{AB} = -\vec{BA}\), d.h. der Verbindungsvektor von \(B\) nach \(A\) ist der negative Vektor von \(A\) nach \(B\). 6. **Verwendung**: Verbindungsvektoren werden genutzt, um Richtungen, Abstände, Geraden und Ebenen im Raum zu beschreiben. Diese Eigenschaften machen Verbindungsvektoren zu einem wichtigen Werkzeug in der Vektorrechnung und Geometrie.

Accepted Answer

Vektoren besitzen mehrere grundlegende Eigenschaften: 1. **Richtung und Betrag**: Ein Vektor ist durch seine Richtung und seinen Betrag (Länge) eindeutig bestimmt. 2. **Addition**: Zwei Vektore... [mehr]

Accepted Answer

Vektoren besitzen mehrere grundlegende Eigenschaften: 1. **Richtung und Betrag**: Ein Vektor ist durch seine Richtung und seinen Betrag (Länge) eindeutig bestimmt. 2. **Addition**: Zwei Vektoren können addiert werden. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor (Parallelogrammgesetz). 3. **Skalare Multiplikation**: Ein Vektor kann mit einer Zahl (Skalar) multipliziert werden. Dabei ändert sich der Betrag, die Richtung bleibt (außer bei negativer Zahl, dann kehrt sich die Richtung um). 4. **Nullvektor**: Es gibt einen speziellen Vektor mit dem Betrag null, der sogenannte Nullvektor. Er hat keine Richtung. 5. **Gegenvector**: Zu jedem Vektor gibt es einen Gegenvektor, der die gleiche Länge, aber die entgegengesetzte Richtung hat. 6. **Komponenten**: In einem Koordinatensystem kann ein Vektor durch seine Komponenten (z. B. \( (x, y, z) \)) dargestellt werden. 7. **Verschiebung**: Vektoren sind ortsunabhängig, das heißt, sie können im Raum verschoben werden, ohne ihre Eigenschaften zu verlieren. 8. **Lineare Unabhängigkeit**: Mehrere Vektoren sind linear unabhängig, wenn keiner von ihnen als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Weitere Eigenschaften ergeben sich je nach Kontext, z. B. Skalarprodukt, Kreuzprodukt oder Normierung.

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Ein Parallelogramm erkennst du an folgenden Eigenschaften: 1. **Gegenüberliegende Seiten sind parallel**: Die jeweils gegenüberliegenden Seiten verlaufen exakt parallel zueinander. 2. **Geg... [mehr]

Accepted Answer

Ein Parallelogramm erkennst du an folgenden Eigenschaften: 1. **Gegenüberliegende Seiten sind parallel**: Die jeweils gegenüberliegenden Seiten verlaufen exakt parallel zueinander. 2. **Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang**: Die Längen der gegenüberliegenden Seiten stimmen überein. 3. **Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß**: Die Winkel, die sich gegenüberliegen, sind identisch. 4. **Die Diagonalen halbieren einander**: Die beiden Diagonalen schneiden sich genau in der Mitte. Wenn mindestens eine dieser Eigenschaften nachgewiesen werden kann (zum Beispiel durch Messen oder Berechnen), handelt es sich um ein Parallelogramm.