Für f(t) = 2,5 · (1 - e^(0,1t)) ist die Ableitung: f'(t) = 2,5 · ( -0,1 · e^(0,1t) ) also vereinfacht: f'(t) = -0,25 · e^(0,1t) Ergebnis: f'(t) =...
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle x0=2 an den Graphen der Funktion f(x)=3⋅x^2−2?
Antwort vomUm die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion \( f(x) = 3x^2 - 2 \) an der Stelle \( x_0 = 2 \) zu bestimmen, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \( x_0 = 2 \):** \[ f(2) = 3 \cdot 2^2 - 2 = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10 \] Der Punkt auf dem Graphen ist also \( (2, 10) \). 2. **Berechnung der Ableitung der Funktion \( f(x) \):** \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 2) = 6x \] 3. **Berechnung des Wertes der Ableitung an der Stelle \( x_0 = 2 \):** \[ f'(2) = 6 \cdot 2 = 12 \] Die Steigung der Tangente an der Stelle \( x_0 = 2 \) ist also \( m = 12 \). 4. **Aufstellen der Tangentengleichung:** Die allgemeine Form der Tangentengleichung ist \( t(x) = m \cdot x + b \). Um den y-Achsenabschnitt \( b \) zu bestimmen, wird der Punkt \( (2, 10) \) in die Gleichung eingesetzt: \[ 10 = 12 \cdot 2 + b \] \[ 10 = 24 + b \] \[ b = 10 - 24 = -14 \] Die Gleichung der Tangente lautet also: \[ t(x) = 12x - 14 \]
Verwandte Fragen
Berechne die Ableitung f'(x) von f(x) = (x-1)^2.
Gegeben \(f(x)=(x-1)^2\). Ableiten (Kettenregel): \[ f'(x)=2(x-1)\cdot 1=2(x-1)=2x-2. \]
Was ist eine Kurvendiskussion?
Eine Kurvendiskussion ist eine systematische Untersuchung des Verlaufs einer mathematischen Funktion, meist einer Funktion f(x). Ziel ist es, möglichst viele Eigenschaften der Funktion zu bestimm...
Wie lautet die Ableitung von f(x) = ((x-3)(x+2))/((x+1)(x+5))?
Um die Ableitung der Funktion \[ f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x+5)} \] zu berechnen, verwendest du die Quotientenregel: \[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]...
Was ist die Produktregel einfach erklärt?
Die Produktregel ist eine wichtige Regel in der Differentialrechnung. Sie hilft dir, die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen zu berechnen. Stell dir vor, du hast zwei Funktionen: f(x) und g(...
Welche Funktion ergibt die Eulersche Zahl e?
Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Wie leitet man e^x + 7 ab?
Die Ableitung von \(e^x + 7\) ist \(e^x\), weil die Konstante 7 beim Ableiten wegfällt.
Fläche unter f(x)=sin(x)+2 im Intervall von -π bis 1 berechnen
Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(f(x)=\sin(x)+2\), der \(x\)-Achse und den Grenzen \(x=-\pi\) bis \(x=1\). Da \(f(x)=\sin(x)+2 > 0\), ist die Fläche: \[ A=\int{...
Wie lautet die Ableitung f'(x) von f(x) = x^(a+2)?
Für \(f(x)=x^{a+2}\) (mit konstantem Parameter \(a\)) gilt nach der Potenzregel: \[ f'(x)=(a+2)\,x^{a+1}. \] (Hinweis: Für reelle Exponenten ist das für \(x>0\) definiert; bei...
Wie rechnet man y = f(x) in x = f(y) um?
Um aus \(y=f(x)\) eine Darstellung \(x=f(y)\) zu machen, löst man die Gleichung nach \(x\) auf und ersetzt danach (falls gewünscht) die Variable \(y\) wieder durch \(x\). Das ist genau das B...
