Bestimme die Koordinaten der Punkte des Graphen von f mit waagerechter Tangente für f(x)=(x-1)(x-3)^2.

Um die Punkte des Grafen der Funktion \( f(x) = (x-1)(x-3)^2 \) mit waagerechter Tangente zu bestimmen, musst du die Ableitung der Funktion berechnen und diese gleich null setzen.

1. **Ableitung berechnen**:
Zuerst wenden wir die Produktregel an. Die Funktion kann als \( u(x) = (x-1) \) und \( v(x) = (x-3)^2 \) betrachtet werden.

Die Ableitung \( f'(x) \) ist dann:
\[
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]
Dabei ist \( u'(x) = 1 \) und \( v'(x) = 2(x-3) \).

Setzen wir das ein:
\[
f'(x) = 1 \cdot (x-3)^2 + (x-1) \cdot 2(x-3)
\]
\[
= (x-3)^2 + 2-1)(x-3)
\]

Jetzt vereinfachen wir das:
\[
= (x-3)^2 + 2(x^2 - 4x + 3)
\]
\[
= (x-3)^2 + 2x^2 - 8x + 6
\]
\[
= x^2 - 6x + 9 + 2x^2 - 8x + 6
\]
\[
= 3x^2 - 14x + 15
\]

2. **Waagerechte Tangente finden**:
Setze die Ableitung gleich null:
\[
3x^2 - 14x + 15 = 0
\]

Um die Nullstellen zu finden, verwenden wir die Mitternachtsformel:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}
\]
\[
= \frac{14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6} = \frac{14 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{14 \pm 4}{6}
\]

Das ergibt zwei Lösungen:
\[
x_1 = \frac{18}{6} = 3 \quad \text{und} \quad x_2 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}
\]

3. **Koordinaten der Punkte bestimmen**:
Jetzt berechnen wir die Funktionswerte an diesen Stellen:

Für \( x_1 = 3 \):
\[
f(3) = (3-1)(3-3)^2 = 2 \cdot 0 = 0
\]
Der Punkt ist \( (3, 0) \).

Für \( x_2 = \frac{5}{3} \):
\[
f\left(\frac{5}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}-1\right)\left(\frac{5}{3}-3\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{4}{3}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{16}{9} = \frac{32}{27}
\]
Der Punkt ist \( \left(\frac{5}{3}, \frac{32}{27}\right) \).

Zusammenfassend sind die Punkte des Grafen von \( f \) mit waagerechter Tangente:
- \( (3, 0) \)
- \( \left(\frac{5}{3}, \frac{32}{27}\right) \)