Bestimme die Koordinaten der Punkte des Graphen von f mit waagerechter Tangente für f(x)=(x-1)(x-3)^2.

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Um die Punkte des Grafen der Funktion \( f(x) = (x-1)(x-3)^2 \) mit waagerechter Tangente zu bestimmen, musst du die Ableitung der Funktion berechnen und diese gleich null setzen. 1. **Ableitung berechnen**: Zuerst wenden wir die Produktregel an. Die Funktion kann als \( u(x) = (x-1) \) und \( v(x) = (x-3)^2 \) betrachtet werden. Die Ableitung \( f'(x) \) ist dann: \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] Dabei ist \( u'(x) = 1 \) und \( v'(x) = 2(x-3) \). Setzen wir das ein: \[ f'(x) = 1 \cdot (x-3)^2 + (x-1) \cdot 2(x-3) \] \[ = (x-3)^2 + 2-1)(x-3) \] Jetzt vereinfachen wir das: \[ = (x-3)^2 + 2(x^2 - 4x + 3) \] \[ = (x-3)^2 + 2x^2 - 8x + 6 \] \[ = x^2 - 6x + 9 + 2x^2 - 8x + 6 \] \[ = 3x^2 - 14x + 15 \] 2. **Waagerechte Tangente finden**: Setze die Ableitung gleich null: \[ 3x^2 - 14x + 15 = 0 \] Um die Nullstellen zu finden, verwenden wir die Mitternachtsformel: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3} \] \[ = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6} = \frac{14 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{14 \pm 4}{6} \] Das ergibt zwei Lösungen: \[ x_1 = \frac{18}{6} = 3 \quad \text{und} \quad x_2 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \] 3. **Koordinaten der Punkte bestimmen**: Jetzt berechnen wir die Funktionswerte an diesen Stellen: Für \( x_1 = 3 \): \[ f(3) = (3-1)(3-3)^2 = 2 \cdot 0 = 0 \] Der Punkt ist \( (3, 0) \). Für \( x_2 = \frac{5}{3} \): \[ f\left(\frac{5}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}-1\right)\left(\frac{5}{3}-3\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{4}{3}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{16}{9} = \frac{32}{27} \] Der Punkt ist \( \left(\frac{5}{3}, \frac{32}{27}\right) \). Zusammenfassend sind die Punkte des Grafen von \( f \) mit waagerechter Tangente: - \( (3, 0) \) - \( \left(\frac{5}{3}, \frac{32}{27}\right) \)

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