Für f(t) = 2,5 · (1 - e^(0,1t)) ist die Ableitung: f'(t) = 2,5 · ( -0,1 · e^(0,1t) ) also vereinfacht: f'(t) = -0,25 · e^(0,1t) Ergebnis: f'(t) =...
Berechne die Gleichung der Tangente t(x) an der Stelle x0=1 für die Funktion f(x)=1/x².
Antwort vomUm die Gleichung der Tangente \( t(x) \) an der Stelle \( x_0 = 1 \) für die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) zu berechnen, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Bestimme den Funktionswert an der Stelle \( x_0 \)**: \[ f(1) = \frac{1}{1^2} = 1 \] 2. **Berechne die Ableitung \( f'(x) \)**: Die Ableitung von \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) kann mit der Potenzregel berechnet werden: \[ f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \] 3. **Bestimme die Ableitung an der Stelle \( x_0 \)**: \[ f'(1) = -\frac{2}{1^3} = -2 \] 4. **Verwende die Punkt-Steigungsform der Geradengleichung**: Die Gleichung der Tangente \( t(x) \) an der Stelle \( x_0 \) ist gegeben durch: \[ t(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \] Setze die Werte ein: \[ t(x) = 1 - 2(x - 1) \] 5. **Vereinfache die Gleichung**: \[ t(x) = 1 - 2x + 2 = -2x + 3 \] Die Gleichung der Tangente \( t(x) \) an der Stelle \( x_0 = 1 \) lautet also: \[ t(x) = -2x + 3 \]
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