In welchen Punkten hat die Tangente an f(x) = 1/9 • (3x + 2)^3 die Steigung 1?

Um die Punkte zu finden, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion \( f(x) = \frac{1}{9} (3x + 2)^3 \) die Steigung 1 hat, musst du zuerst die Ableitung der Funktion bestimmen und dann die Gleichung \( f'(x) = 1 \ lösen.

1. **Ableitung berechnen**:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{9} (3x + 2)^3 \right)
\]
Verwende die Kettenregel:
\[
f'(x) = \frac{1}{9} \cdot 3(3x + 2)^2 \cdot 3 = \frac{1}{9} \cdot 9(3x + 2)^2 = (3x + 2)^2
\]

2. **Steigung gleich 1 setzen**:
\[
(3x + 2)^2 = 1
\]

3. **Gleichung lösen**:
\[
3x + 2 = 1 \quad \text{oder} \quad 3x + 2 = -1
\]
Für \( 3x + 2 = 1 \):
\[
3x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{3}
\]
Für \( 3x + 2 = -1 \):
\[
3x = -3 \quad \Rightarrow \quad x = -1
\]

4. **Punkte finden**:
Setze die \( x \)-Werte in die Funktion \( f(x) \) ein, um die entsprechenden \( y \)-Werte zu finden.

Für \( x = -\frac{1}{3} \):
\[
f\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9} \left(3 \cdot -\frac{1}{3} + 2\right)^3 = \frac{1}{9} (1)^3 = \frac{1}{9}
\]

Für \( x = -1 \):
\[
f(-1) = \frac{1}{9} (3 \cdot -1 + 2)^3 = \frac{1}{9} (-1)^3 = -\frac{1}{9}
\]

Die Punkte, an denen die Tangente an den Graphen von \( f \) die Steigung 1 hat, sind also:
\[
\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{9}\right) \quad \text{und} \quad (-1, -\frac{1}{9}).
\]