Führe die Probe für p=2, q=1/2 durch (p^2 + pq + q^2) * (p - q)?

Um die Probe für \( p = 2 \) und \( q = \frac{1}{2} \) durchzuführen, setzen wir die Werte in den Ausdruck \( (p^2 + pq + q^2)(p - q) \) ein.

1. Berechne \( p^2 \):
\[
p^2 = 2^2 = 4
\]

2. Berechne \( pq \):
\[
pq = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1
\]

3. Berechne \( q^2 \):
\[
q^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
\]

4. Setze die Werte in den ersten Teil des Ausdrucks ein:
\[
p^2 + pq + q^2 = 4 + 1 + \frac{1}{4} = 5 + \frac{1}{4} = \frac{20}{4} + \frac{1}{4} = \frac{21}{4}
\]

5. Berechne \( p - q \):
\[
p - q = 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
\]

6. Setze nun alles in den gesamten Ausdruck ein:
\[
(p^2 + pq + q^2)(p - q) = \left(\frac{21}{4}\right) \left(\frac{3}{2}\right)
\]

7. Multipliziere die Brüche:
\[
= \frac{21 \cdot 3}{4 \cdot 2} = \frac{63}{8}
\]

Das Ergebnis der Probe ist also \( \frac{63}{8} \).