Wie führt man Äquivalenzumformungen durch?

Äquivalenzumformungen sind Umformungen von Gleichungen oder Ungleichungen, bei denen die Lösungsmenge erhalten bleibt. Das Ziel ist, die Gleichung so umzuformen, dass sie leichter zu lösen ist, ohne dass sich die Lösungen ändern. Hier sind die wichtigsten Regeln:

1. **Addition/Subtraktion**: Du kannst auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren.
Beispiel:
\( x + 3 = 7 \)
\(\rightarrow x + 3 - 3 = 7 - 3 \)
\(\rightarrow x = 4 \)

2. **Multiplikation/Division**: Du kannst beide Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl (außer 0) multiplizieren oder durch sie teilen.
Beispiel:
\( 2x = 8 \)
\(\rightarrow \frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \)
\(\rightarrow x = 4 \)

3. **Klammern auflösen**: Klammern können mit Hilfe des Distributivgesetzes aufgelöst werden.
Beispiel:
\( 2(x + 3) = 8 \)
\(\rightarrow 2x + 6 = 8 \)

4. **Zusammenfassen von Termen**: Gleiche Terme auf einer Seite zusammenfassen.
Beispiel:
\( x + x = 6 \)
\(\rightarrow 2x = 6 \)

5. **Unbekannte auf eine Seite bringen**: Alle Variablen auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere.
Beispiel:
\( x + 2 = 3x - 4 \)
\(\rightarrow x - 3x = -4 - 2 \)
\(\rightarrow -2x = -6 \)

**Wichtig:**
Bei Ungleichungen (>, <, ≥, ≤) musst du beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umdrehen.

**Zusammengefasst:**
Bei jeder Umformung musst du die Gleichung so behandeln, dass die Lösungsmenge gleich bleibt. Das erreichst du, indem du auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Rechenoperation ausführst.

Weitere Infos findest du z.B. bei [Serlo Mathematik](https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/gleichungen/aequivalenzumformungen).