Wie muss der Parameter a gewählt werden, damit f einen Wendepunkt bei x=1 hat?

Um zu bestimmen, wie der Parameter \( a \) gewählt werden muss, damit die Funktion \( f(x) = a^2 \cdot x^3 - 6 \cdot a \cdot x^2 \) einen Wendepunkt bei \( x = 1 \) hat, müssen wir die zweite Ableitung der Funktion betrachten.

1. **Erste Ableitung** \( f'(x) \):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(a^2 \cdot x^3 - 6 \cdot a \cdot x^2) = 3a^2 \cdot x^2 - 12a \cdot x
\]

2. **Zweite Ableitung** \( f''(x) \):
\[
f''(x) = \frac{d}{dx}(3a^2 \cdot x^2 - 12a \cdot x) = 6a^2 \cdot x - 12a
\]

3. **Wendepunkt**: Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle gleich null ist. Setze \( x = 1 \) in die zweite Ableitung ein:
\[
f''(1) = 6a^2 \cdot 1 - 12a = 6a^2 - 12a
\]
Setze dies gleich null:
\[
6a^2 - 12a = 0
\]

4. **Faktorisieren**:
\[
6a(a - 2) = 0
\]

5. **Lösungen**:
Die Lösungen sind \( a = 0 \) oder \( a = 2 \). Da \( a \neq 0 \) gegeben ist, bleibt:
\[
a = 2
\]

Somit muss der Parameter \( a \) gleich 2 gewählt werden, damit die Funktion \( f \) einen Wendepunkt bei \( x = 1 \) besitzt.