Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Wie muss der Parameter a gewählt werden, damit f einen Wendepunkt bei x=1 hat?
Antwort vomUm zu bestimmen, wie der Parameter \( a \) gewählt werden muss, damit die Funktion \( f(x) = a^2 \cdot x^3 - 6 \cdot a \cdot x^2 \) einen Wendepunkt bei \( x = 1 \) hat, müssen wir die zweite Ableitung der Funktion betrachten. 1. **Erste Ableitung** \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(a^2 \cdot x^3 - 6 \cdot a \cdot x^2) = 3a^2 \cdot x^2 - 12a \cdot x \] 2. **Zweite Ableitung** \( f''(x) \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(3a^2 \cdot x^2 - 12a \cdot x) = 6a^2 \cdot x - 12a \] 3. **Wendepunkt**: Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle gleich null ist. Setze \( x = 1 \) in die zweite Ableitung ein: \[ f''(1) = 6a^2 \cdot 1 - 12a = 6a^2 - 12a \] Setze dies gleich null: \[ 6a^2 - 12a = 0 \] 4. **Faktorisieren**: \[ 6a(a - 2) = 0 \] 5. **Lösungen**: Die Lösungen sind \( a = 0 \) oder \( a = 2 \). Da \( a \neq 0 \) gegeben ist, bleibt: \[ a = 2 \] Somit muss der Parameter \( a \) gleich 2 gewählt werden, damit die Funktion \( f \) einen Wendepunkt bei \( x = 1 \) besitzt.
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