Bestimme alle Nullstellen der Funktion f(x)=-8x^3+16x^2+2x-4.

Question

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f(x)=-8x^3+16x^2+2x-4.

Antwort

Verwandte Fragen

Was ist eine ganzrationale Funktion?

Was sind die Nullstellen von f(x) = (x - 2,5)² + 1?

Wie finde ich die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion?

Welche Funktion hat ein Maximum bei (332.0822, 0.83269) und ein Minimum bei (332.2387, -0.82764) und konvergiert für x gegen unendlich gegen die x-Achse?

Welche Funktion besitzt sowohl ein Minimum als auch ein Maximum und hat auf beiden Seiten eine Asymptote zur x-Achse?

Wie lautet die erste Ableitung der Quadratwurzel von x?

Durch welche Operationen wird eine Funktion f(x) entlang der x-Achse gestaucht oder gestreckt?

Was ist die Riemannsche Vermutung?

Nullstelle von h(x) = x² - 1,5?

Einfacher Beweis des Satzes von Vieta.

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = -8x^3 + 16x^2 + 2x - 4 \) zu bestimmen, müssen die Werte von \( x \) gefunden werden, für die \( f(x) = 0 \) gilt. Das bedeutet, dass die Gleichung \[ -8x^3 + 16x^2 + 2x - 4 = 0 \] gelöst werden muss. Hier ist ein möglicher Ansatz: 1. **Raten und Polynomdivision**: Versuche, eine rationale Nullstelle zu raten, indem du mögliche Teiler des konstanten Terms (-4) durch mögliche Teiler des führenden Koeffizienten (-8) teilst. Mögliche Kandidaten sind \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8} \). 2. **Prüfen von Kandidaten**: Setze diese Kandidaten in die Funktion ein, um zu sehen, ob sie Nullstellen sind. 3. **Polynomdivision**: Wenn eine Nullstelle gefunden ist, führe eine Polynomdivision durch, um das Polynom in Linearfaktoren zu zerlegen. 4. **Quadratische Gleichung lösen**: Wenn das Polynom auf ein quadratisches Polynom reduziert ist, löse die quadratische Gleichung. Lass uns diesen Prozess durchgehen: 1. **Raten und Prüfen**: - Setze \( x = 1 \) ein: \[ f(1) = -8(1)^3 + 16(1)^2 + 2(1) - 4 = -8 + 16 + 2 - 4 = 6 \] \( x = 1 \) ist keine Nullstelle. - Setze \( x = -1 \) ein: \[ f(-1) = -8(-1)^3 + 16(-1)^2 + 2(-1) - 4 = 8 + 16 - 2 - 4 = 18 \] \( x = -1 \) ist keine Nullstelle. - Setze \( x = 2 \) ein: \[ f(2) = -8(2)^3 + 16(2)^2 + 2(2) - 4 = -64 + 64 + 4 - 4 = 0 \] \( x = 2 \) ist eine Nullstelle. 2. **Polynomdivision**: - Teile \( -8x^3 + 16x^2 + 2x - 4 \) durch \( x - 2 \): \[ \begin{array}{r|rrrr} -8x^2 & -16x & -30 & -4 \\ \hline x - 2 & -8x^3 & +16x^2 & +2x & -4 \\ \hline & -8x^3 & +16x^2 & +2x & -4 \\ & -8x^3 & +16x^2 & -16x & +32 \\ \hline & 0 & 0 & +18x & -36 \\ \end{array} \] Das Ergebnis der Division ist \( -8x^2 - 18x - 2 \). 3. **Quadratische Gleichung lösen**: - Löse \( -8x^2 - 18x - 2 = 0 \) mit der Mitternachtsformel \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ a = -8, \quad b = -18, \quad c = -2 \] \[ x = \frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4(-8)(-2)}}{2(-8)} \] \[ x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 64}}{-16} \] \[ x = \frac{18 \pm \sqrt{260}}{-16} \] \[ x = \frac{18 \pm 2\sqrt{65}}{-16} \] \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{65}}{-8} \] \[ x = -\frac{9}{8} \mp \frac{\sqrt{65}}{8} \] Die Nullstellen

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Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Das bedeutet, sie hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ Dabei sind a₀, a₁, ..., aₙ reelle Z... [mehr]

Accepted Answer

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Das bedeutet, sie hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ Dabei sind a₀, a₁, ..., aₙ reelle Zahlen (die sogenannten Koeffizienten) und n ist eine natürliche Zahl (der Grad des Polynoms). Die Variable x darf nur mit ganzzahligen, nicht-negativen Exponenten vorkommen. Es gibt keine Brüche, Wurzeln oder andere Funktionen von x. Beispiele für ganzrationale Funktionen: - f(x) = 2x³ - 5x + 7 (Polynom dritten Grades) - f(x) = x² + 4x + 4 (Polynom zweiten Grades) - f(x) = 5 (Polynom nullten Grades) Ganzrationale Funktionen werden auch als Polynomfunktionen bezeichnet.

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -1 \] Da der Ausdruck \((x - 2.5)^2\) immer größer oder gleich null ist (da es sich um ein Quadrat handelt), kann er niemals gleich \(-1\) sein. Daher hat die Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) keine Nullstellen.

Accepted Answer

Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) u... [mehr]

Accepted Answer

Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) berechnet wird. Die Diskrimin wird wie folgt berechnet: \[ D = b^2 - 4ac \] Die Anzahl der Nullstellen hängt dann von dem Wert der Diskriminante ab: 1. **Wenn \( D > 0 \)**: Die Funktion hat zwei verschiedene Nullstellen. 2. **Wenn \( D = 0 \)**: Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle (also genau eine Nullstelle). 3. **Wenn \( D < 0 \)**: Die Funktion hat keine reellen Nullstellen (die Nullstellen sind komplex). Durch die Berechnung der Diskriminante kannst du also schnell die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen.

Accepted Answer

Gesucht ist eine Funktion \( f(x) \), die - ein Maximum bei \( (332.0822,\ 0.83269) \), - ein Minimum bei \( (332.2387,\ -0.82764) \) hat, - und für \( x \to \infty \) gegen die x-Achse (also \(... [mehr]

Accepted Answer

Gesucht ist eine Funktion \( f(x) \), die - ein Maximum bei \( (332.0822,\ 0.83269) \), - ein Minimum bei \( (332.2387,\ -0.82764) \) hat, - und für \( x \to \infty \) gegen die x-Achse (also \( f(x) \to 0 \)) konvergiert. Eine typische Funktionsform, die solche Eigenschaften aufweist, ist die **gedämpfte Sinusfunktion** oder eine **Gauß-modulierte Sinusfunktion**. Ein Beispiel: \[ f(x) = A \cdot e^{-k(x-x_0)} \cdot \sin(\omega(x-x_0)) \] Hierbei: - \( A \) ist die Amplitude, - \( k \) ist die Dämpfung, - \( x_0 \) ist eine Verschiebung, - \( \omega \) ist die Kreisfrequenz. **Vorgehen zur Bestimmung der Parameter:** 1. **Null-Lage:** Da die Extrema sehr nahe beieinander liegen, ist die Periode klein. Die Funktion schwingt also nur wenig. 2. **Maximum und Minimum:** Die Werte und Abstände der Extrema bestimmen Amplitude und Frequenz. 3. **Asymptotisches Verhalten:** Der Exponentialterm sorgt dafür, dass \( f(x) \to 0 \) für \( x \to \infty \). **Konkretisierung:** Setze \( x_0 = 332.0822 \) (Maximum bei \( x_0 \)), dann ist das Minimum bei \( x_1 = 332.2387 \). Der Abstand zwischen Maximum und Minimum ist: \[ \Delta x = x_1 - x_0 = 332.2387 - 332.0822 = 0.1565 \] Für eine Sinusfunktion liegt das Minimum eine halbe Periode nach dem Maximum, also: \[ \frac{T}{2} = 0.1565 \implies T = 0.313 \] \[ \omega = \frac{2\pi}{T} \approx \frac{2\pi}{0.313} \approx 20.08 \] Die Amplitude ist etwa der Mittelwert der Beträge der Extrema: \[ A \approx \frac{0.83269 + 0.82764}{2} \approx 0.830 \] Die Dämpfung \( k \) muss so gewählt werden, dass die Funktion für große \( x \) gegen 0 geht. Ein kleiner positiver Wert, z.B. \( k = 0.01 \), reicht oft. **Beispielhafte Funktion:** \[ f(x) = 0.830 \cdot e^{-0.01(x-332.0822)} \cdot \sin(20.08(x-332.0822)) \] Diese Funktion hat: - Ein Maximum bei \( x = 332.0822 \) mit ca. 0.83, - Ein Minimum bei \( x = 332.2387 \) mit ca. -0.83, - Und konvergiert für \( x \to \infty \) gegen 0. **Hinweis:** Die Werte sind angenähert. Für exakte Werte müsste man die Gleichungen für Maximum und Minimum exakt lösen. **Weitere Informationen:** - [Sinusfunktion – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus) - [Gedämpfte Schwingung – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Ged%C3%A4mpfte_Schwingung)

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Ein Beispiel für eine Funktion, die ein Minimum und ein Maximum besitzt und auf beiden Seiten (für \( x \to -\infty \) und \( x \to +\infty \)) die x-Achse als Asymptote hat, ist die Funktio... [mehr]

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Ein Beispiel für eine Funktion, die ein Minimum und ein Maximum besitzt und auf beiden Seiten (für \( x \to -\infty \) und \( x \to +\infty \)) die x-Achse als Asymptote hat, ist die Funktion \[ f(x) = \frac{x^3}{1 + x^2} \] **Eigenschaften:** - Für \( x \to \pm\infty \) gilt: \( f(x) \to 0 \) (x-Achse ist Asymptote). - Die Funktion hat ein lokales Maximum und ein lokales Minimum. **Begründung:** - Die Ableitung \( f'(x) = \frac{3x^2(1 + x^2) - 2x^4}{(1 + x^2)^2} \) zeigt, dass es zwei Extremstellen gibt. - Die Funktion ist für alle \( x \) definiert. **Graphische Darstellung:** Du kannst dir den Graphen z.B. bei [Desmos](https://www.desmos.com/calculator) oder [GeoGebra](https://www.geogebra.org/graphing) anschauen, um die Eigenschaften zu überprüfen. **Zusammenfassung:** \[ f(x) = \frac{x^3}{1 + x^2} \] ist eine Funktion mit Minimum, Maximum und der x-Achse als Asymptote auf beiden Seiten.

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Die zweite Wurzel von \( x \) ist gleich \( \sqrt{x} \) oder \( x^{1/2} \). Die erste Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] **A... [mehr]

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Die zweite Wurzel von \( x \) ist gleich \( \sqrt{x} \) oder \( x^{1/2} \). Die erste Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] **Antwort:** Die erste Ableitung von \( \sqrt{x} \) ist \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

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Eine Funktion \( f(x) \) wird längs der x-Achse gestaucht oder gestreckt, indem du das Argument der Funktion mit einem Faktor \( a \) multiplizierst: - **Streckung entlang der x-Achse:** \(... [mehr]

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Eine Funktion \( f(x) \) wird längs der x-Achse gestaucht oder gestreckt, indem du das Argument der Funktion mit einem Faktor \( a \) multiplizierst: - **Streckung entlang der x-Achse:** \( f\left(\frac{x}{a}\right) \) mit \( |a| > 1 \) Die Funktion wird um den Faktor \( a \) in x-Richtung gestreckt. - **Stauchung entlang der x-Achse:** \( f\left(\frac{x}{a}\right) \) mit \( 0 < |a| < 1 \) Die Funktion wird um den Faktor \( a \) in x-Richtung gestaucht. **Merke:** Multiplizierst du das \( x \) im Argument von \( f \) mit einem Wert größer als 1, wird die Funktion gestaucht; teilst du durch einen Wert größer als 1 (bzw. multiplizierst mit einem Wert zwischen 0 und 1), wird sie gestreckt.

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Die Riemannsche Vermutung ist eines der berühmtesten und wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik. Sie wurde 1859 von dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann formuliert und besch&a... [mehr]

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Die Riemannsche Vermutung ist eines der berühmtesten und wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik. Sie wurde 1859 von dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann formuliert und beschäftigt sich mit den sogenannten Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion. Die Riemannsche Zetafunktion ist eine spezielle mathematische Funktion, die für komplexe Zahlen definiert ist. Sie spielt eine zentrale Rolle in der Zahlentheorie, insbesondere im Zusammenhang mit der Verteilung der Primzahlen. Die Vermutung besagt: **Alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion haben den Realteil 1/2.** Das heißt: Wenn man die Gleichung ζ(s) = 0 betrachtet (wobei ζ die Zetafunktion ist und s eine komplexe Zahl), dann liegen alle nicht-trivialen Lösungen (also die Nullstellen, die nicht bei negativen geraden Zahlen liegen) auf der sogenannten "kritischen Geraden" im komplexen Zahlenraum, nämlich dort, wo der Realteil von s gleich 1/2 ist. Die Riemannsche Vermutung ist eines der sieben "Millennium-Probleme" des Clay Mathematics Institute, für deren Lösung jeweils ein Preis von einer Million US-Dollar ausgelobt wurde. Weitere Informationen findest du zum Beispiel auf der [Wikipedia-Seite zur Riemannschen Vermutung](https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Vermutung).

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Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadra... [mehr]

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Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \[ x = \pm \sqrt{1,5} \] Die Nullstellen sind also: \[ x = \sqrt{1,5} \quad \text{und} \quad x = -\sqrt{1,5} \] Das ergibt die ungefähren Werte: \[ x \approx 1,22 \quad \text{und} \quad x \approx -1,22 \] Somit sind die Nullstellen von \( h(x) \) bei \( x \approx 1,22 \) und \( x \approx -1,22 \).

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wur... [mehr]

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt: 1. Die Summe der Wurzeln: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 2. Das Produkt der Wurzeln: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) **Ein einfacher Beweis:** 1. **Polynom umformen:** Beginne mit der allgemeinen Form des quadratischen Polynoms: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] 2. **Wurzeln ausdrücken:** Angenommen, die Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) sind Lösungen der Gleichung. Dann kann das Polynom auch als Produkt der Wurzeln geschrieben werden: \[ a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \] 3. **Ausmultiplizieren:** Multipliziere die Klammern aus: \[ a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = 0 \] Dies ergibt: \[ ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 = 0 \] 4. **Vergleich der Koeffizienten:** Vergleiche die Koeffizienten mit der ursprünglichen Form \( ax^2 + bx + c = 0 \): - Der Koeffizient von \( x \) gibt uns \( -a(x_1 + x_2) = b \), was zu \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) führt. - Der konstante Term ergibt \( ax_1x_2 = c \), was zu \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) führt. Somit sind die Beziehungen, die der Satz von Vieta beschreibt, bewiesen.