Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f(x)=-8x^3+16x^2+2x-4.
Antwort vomUm die Nullstellen der Funktion \( f(x) = -8x^3 + 16x^2 + 2x - 4 \) zu bestimmen, müssen die Werte von \( x \) gefunden werden, für die \( f(x) = 0 \) gilt. Das bedeutet, dass die Gleichung \[ -8x^3 + 16x^2 + 2x - 4 = 0 \] gelöst werden muss. Hier ist ein möglicher Ansatz: 1. **Raten und Polynomdivision**: Versuche, eine rationale Nullstelle zu raten, indem du mögliche Teiler des konstanten Terms (-4) durch mögliche Teiler des führenden Koeffizienten (-8) teilst. Mögliche Kandidaten sind \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8} \). 2. **Prüfen von Kandidaten**: Setze diese Kandidaten in die Funktion ein, um zu sehen, ob sie Nullstellen sind. 3. **Polynomdivision**: Wenn eine Nullstelle gefunden ist, führe eine Polynomdivision durch, um das Polynom in Linearfaktoren zu zerlegen. 4. **Quadratische Gleichung lösen**: Wenn das Polynom auf ein quadratisches Polynom reduziert ist, löse die quadratische Gleichung. Lass uns diesen Prozess durchgehen: 1. **Raten und Prüfen**: - Setze \( x = 1 \) ein: \[ f(1) = -8(1)^3 + 16(1)^2 + 2(1) - 4 = -8 + 16 + 2 - 4 = 6 \] \( x = 1 \) ist keine Nullstelle. - Setze \( x = -1 \) ein: \[ f(-1) = -8(-1)^3 + 16(-1)^2 + 2(-1) - 4 = 8 + 16 - 2 - 4 = 18 \] \( x = -1 \) ist keine Nullstelle. - Setze \( x = 2 \) ein: \[ f(2) = -8(2)^3 + 16(2)^2 + 2(2) - 4 = -64 + 64 + 4 - 4 = 0 \] \( x = 2 \) ist eine Nullstelle. 2. **Polynomdivision**: - Teile \( -8x^3 + 16x^2 + 2x - 4 \) durch \( x - 2 \): \[ \begin{array}{r|rrrr} -8x^2 & -16x & -30 & -4 \\ \hline x - 2 & -8x^3 & +16x^2 & +2x & -4 \\ \hline & -8x^3 & +16x^2 & +2x & -4 \\ & -8x^3 & +16x^2 & -16x & +32 \\ \hline & 0 & 0 & +18x & -36 \\ \end{array} \] Das Ergebnis der Division ist \( -8x^2 - 18x - 2 \). 3. **Quadratische Gleichung lösen**: - Löse \( -8x^2 - 18x - 2 = 0 \) mit der Mitternachtsformel \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ a = -8, \quad b = -18, \quad c = -2 \] \[ x = \frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4(-8)(-2)}}{2(-8)} \] \[ x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 64}}{-16} \] \[ x = \frac{18 \pm \sqrt{260}}{-16} \] \[ x = \frac{18 \pm 2\sqrt{65}}{-16} \] \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{65}}{-8} \] \[ x = -\frac{9}{8} \mp \frac{\sqrt{65}}{8} \] Die Nullstellen
Verwandte Fragen
Wie berechnet man die Ableitung von f(x) = 2,5 · (1 - e^(0,1x))?
Für f(t) = 2,5 · (1 - e^(0,1t)) ist die Ableitung: f'(t) = 2,5 · ( -0,1 · e^(0,1t) ) also vereinfacht: f'(t) = -0,25 · e^(0,1t) Ergebnis: f'(t) =...
Fläche unter f(x)=sin(x)+2 im Intervall von -π bis 1 berechnen
Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(f(x)=\sin(x)+2\), der \(x\)-Achse und den Grenzen \(x=-\pi\) bis \(x=1\). Da \(f(x)=\sin(x)+2 > 0\), ist die Fläche: \[ A=\int{...
Berechne die Ableitung f'(x) von f(x) = (x-1)^2.
Gegeben \(f(x)=(x-1)^2\). Ableiten (Kettenregel): \[ f'(x)=2(x-1)\cdot 1=2(x-1)=2x-2. \]
Wie rechnet man y = f(x) in x = f(y) um?
Um aus \(y=f(x)\) eine Darstellung \(x=f(y)\) zu machen, löst man die Gleichung nach \(x\) auf und ersetzt danach (falls gewünscht) die Variable \(y\) wieder durch \(x\). Das ist genau das B...
Welche unterrichtlichen Aktivitäten helfen bei der Ermittlung von Nullstellen quadratischer Funktionen?
Zur Ermittlung von Nullstellen quadratischer Funktionen im Unterricht bieten sich verschiedene Aktivitäten an, die das Verständnis fördern und unterschiedliche Zugänge ermögli...
Was bedeutet es, wenn es Funktionen von einer zweielementigen Menge auf eine andere zweielementige Menge gibt?
Die Aussage „Es gibt Funktionen von einer zweielementigen Menge auf eine andere zweielementige Menge“ bedeutet Folgendes: Du hast zwei Mengen, nennen wir sie \( A \) und \( B \), und beide...
Was ist die Umkehrfunktion von -x?
Die Umkehrfunktion (Inverse) von \( f(x) = -x \) ist ebenfalls \( f^{-1}(x) = -x \).
Was ist eine Umkehrfunktion?
Die Umkehrfunktion (auch Inverse Funktion genannt) ist eine Funktion, die die Wirkung einer anderen Funktion rückgängig macht. Wenn du eine Funktion \( f \) hast, die einen Wert \( x \) auf...
Was ist die Heaviside-Funktion von x+5?
Die Hauptwertfunktion (oft als „hr-Funktion“ abgekürzt) eines Ausdrucks wie \( x+5 \) ist einfach die Funktion selbst, da es sich um eine lineare Funktion handelt. Die Funktionsvorsc...
