Sind g ○ f : V → U lineare Abbildungen linear?

Um zu zeigen, dass die Komposition \( g \circ f : V \to U \) linear ist, müssen zwei Eigenschaften überprüft werden: Additivität und Homogenität.

1. **Additivität**: Für alle \( v_1, v_2 \in V \) muss gelten:
\[
(g \circ f)(v_1 + v_2) = (g \circ f)(v_1) + (g \circ f)(v_2)
\]

Beweis:
\[
(g \circ f)(v_1 + v_2) = g(f(v_1 + v_2))
\]
Da \( f \) linear ist, gilt:
\[
f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2)
\]
Also:
\[
g(f(v1 + v_2)) = g(f(v_1) + f_2))
\]
Da \( g \) linear ist, gilt:
\[
g(f(v_1) + f(v_2)) = g(f(v_1)) + g(f(v_2))
\]
Somit:
\[
(g \circ f)(v_1 + v_2) = g(f(v_1)) + g(f(v_2)) = (g \circ f)(v_1) + (g \circ f)(v_2)
\]

2. **Homogenität**: Für alle \( v \in V \) und \( \lambda \in \mathbb{R} \) muss gelten:
\[
(g \circ f)(\lambda v) = \lambda (g \circ f)(v)
\]

Beweis:
\[
(g \circ f)(\lambda v) = g(f(\lambda v))
\]
Da \( f \) linear ist, gilt:
\[
f(\lambda v) = \lambda f(v)
\]
Also:
\[
g(f(\lambda v)) = g(\lambda f(v))
\]
Da \( g \) linear ist, gilt:
\[
g(\lambda f(v)) = \lambda g(f(v))
\]
Somit:
\[
(g \circ f)(\lambda v) = \lambda g(f(v)) = \lambda (g \circ f)(v)
\]

Da sowohl die Additivität als auch die Homogenität erfüllt sind, ist die Komposition \( g \circ f : V \to U \) eine lineare Abbildung.