Was ist die kritische Stelle von x^(1/x)?

Um die kritische Stelle der Funktion \( f(x) = x^{1/x} \) zu finden, muss die Ableitung der Funktion berechnet und gleich null gesetzt werden. Hier ist der Prozess:

1. **Funktion umschreiben:**
\( f(x) = x^{1/x} \)
Dies kann auch als \( f(x) = e^{\ln(x^{1/x})} = e^{(1/x) \ln(x)} \) geschrieben werden.

2. **Ableitung berechnen:**
Setze \( g(x) = \frac{\ln(x)}{x} \), sodass \( f(x) = e^{g(x)} \).
Die Ableitung von \( f(x) \) ist dann:
\[
f'(x) = e^{g(x)} \cdot g'(x)
\]
Nun muss \( g'(x) \) berechnet werden:
\[
g(x) = \frac{\ln(x)}{x}
\]
Verwende die Quotientenregel:
\[
g'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x)) - \ln(x) \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \ln(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}
\]

3. **Kritische Stellen finden:**
Setze \( f'(x) = 0 \):
\[
e^{g(x)} \cdot g'(x) = 0
\]
Da \( e^{g(x)} \neq 0 \), muss \( g'(x) = 0 \):
\[
\frac{1 - \ln(x)}{x^2} = 0
\]
Dies ist der Fall, wenn \( 1 - \ln(x) = 0 \), also:
\[
\ln(x) = 1
\]
Daraus folgt:
\[
x = e
\]

Die kritische Stelle der Funktion \( f(x) = x^{1/x} \) ist also \( x = e \).