Bestimme die ganzrationale Funktion dritten Grades durch die Punkte A(0|4), B(2|6), C(3|5,5) und D(-2|8).

Um die ganzrationale Funktion dritten Grades f(x) = ax^3 bx^2 + cx + d \) zu bestimmen, die durch die Punkte A(0|4), B(2|6), C(3|5,5) und D(-2|8) verläuft setzen wir die Koordinaten der Punkte in die Funktion ein und erhalten ein System von Gleichungen.

1. Für den Punkt A(0|4):
\[
f(0) = d = 4
\]

2. Für den Punkt B(2|6):
\[
f(2) = 8a + 4b + 2c + d = 6
\]
Setzen wir \( d = 4 \) ein:
\[
8a + 4b + 2c + 4 = 6 \implies 8a + 4b + 2c = 2 \quad (1)
\]

3. Für den Punkt C(3|5,5):
\[
f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 5.5
\]
Setzen wir \( d = 4 \) ein:
\[
27a + 9b + 3c + 4 = 5.5 \implies 27a + 9b + 3c = 1.5 \quad (2)
\]

4. Für den Punkt D(-2|8):
\[
f(-2) = -8a + 4b - 2c + d = 8
\]
Setzen wir \( d = 4 \) ein:
\[
-8a + 4b - 2c + 4 = 8 \implies -8a + 4b - 2c = 4 \quad (3)
\]

Jetzt haben wir ein System von drei Gleichungen:

1. \( 8a + 4b + 2c = 2 \) (1)
2. \( 27a + 9b + 3c = 1.5 \) (2)
3. \( -8a + 4b - 2c = 4 \) (3)

Um das System zu lösen, können wir die Gleichungen umformen und die Variablen eliminieren.

Zuerst teilen wir die Gleichungen (1) und (2) durch 2 und (3) durch 2:

1. \( 4a + 2b + c = 1 \) (1')
2. \( 27a + 9b + 3c = 1.5 \) (2')
3. \( -4a + 2b - c = 2 \) (3')

Nun addieren wir (1') und (3'):
\[
(4a + 2b + c) + (-4a + 2b - c) = 1 + 2 \implies 4b = 3 \implies b = \frac{3}{4}
\]

Setzen wir \( b = \frac{3}{4} \) in (1') ein:
\[
4a + 2 \cdot \frac{3}{4} + c = 1 \implies 4a + \frac{3}{2} + c = 1 \implies 4a + c = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} \quad (4)
\]

Setzen wir \( b = \frac{3}{4} \) in (2') ein:
\[
27a + 9 \cdot \frac{3}{4} + 3c = 1.5 \implies 27a + \frac{27}{4} + 3c = 1.5
\]
Multiplizieren wir die gesamte Gleichung mit 4, um die Brüche zu eliminieren:
\[
108a + 27 + 12c = 6 \implies 108a + 12c = 6 - 27 = -21 \quad (5)
\]

Jetzt haben wir zwei Gleichungen (4) und (5):
1. \( 4a + c = -\frac{1}{2} \) (4)
2. \( 108a + 12c = -21 \) (5)

Setzen wir \( c = -\frac{1}{2} - 4a \) aus (4) in (5) ein:
\[
108a + 12\left(-\frac{1}{2} -