Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Bestimme die Funktion h(x) der Komposition f(x) = g(h(x)) mit g(x) = 4x^2 + 2.
Antwort vomUm die Funktion \( f(x) = 36x^2 + 96x + 66 \) als Komposition \( f = g \circ h \) mit \( g(x) = 4x^2 + 2 \) darzustellen, müssen wir eine Funktion \( h(x) \) finden, sodass \( f(x) = g(h(x)) \). Zuerst setzen wir \( g(h(x)) \) gleich \( f(x) \): \[ g(h(x)) = 4(h(x))^2 + 2 \] Wir setzen \( h(x) \) als eine quadratische Funktion an, da \( g(x) \) eine quadratische Funktion ist. Eine allgemeine Form für \( h(x) \) könnte sein: \[ h(x) = ax^2 + bx + c \] Nun setzen wir \( h(x) \) in \( g(h(x)) \) ein: \[ g(h(x)) = 4(ax^2 + bx + c)^2 + 2 \] Um \( g(h(x)) \) zu berechnen, müssen wir zuerst \( (ax^2 + bx + c)^2 \) ausmultiplizieren: \[ (ax^2 + bx + c)^2 = a^2x^4 + 2abx^3 + (2ac + b^2)x^2 + 2bcx + c^2 \] Dann multiplizieren wir mit 4: \[ g(h(x)) = 4(a^2x^4 + 2abx^3 + (2ac + b^2)x^2 + 2bcx + c^2) + 2 \] Das ergibt: \[ g(h(x)) = 4a^2x^4 + 8abx^3 + 4(2ac + b^2)x^2 + 8bcx + 4c^2 + 2 \] Da \( f(x) = 36x^2 + 96x + 66 \) eine quadratische Funktion ist, muss der Koeffizient von \( x^4 \) und \( x^3 \) in \( g(h(x)) \) gleich 0 sein. Das bedeutet: \[ 4a^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 0 \] \[ 8ab = 0 \quad \Rightarrow \quad b \text{ kann beliebig sein, da } a = 0 \] Setzen wir \( a = 0 \) in \( h(x) \): \[ h(x) = bx + c \] Jetzt setzen wir \( h(x) \) in \( g(h(x)) \) ein: \[ g(h(x)) = g(bx + c) = 4(bx + c)^2 + 2 \] Das ergibt: \[ g(h(x)) = 4(b^2x^2 + 2bcx + c^2) + 2 = 4b^2x^2 + 8bcx + 4c^2 + 2 \] Nun setzen wir die Koeffizienten gleich: 1. \( 4b^2 = 36 \) \(\Rightarrow b^2 = 9 \Rightarrow b = 3 \text{ oder } b = -3\) 2. \( 8bc = 96 \) 3. \( 4c^2 + 2 = 66 \Rightarrow 4c^2 = 64 \Rightarrow c^2 = 16 \Rightarrow c = 4 \text{ oder } c = -4\) Wenn wir \( b = 3 \) setzen: \[ 8(3)c = 96 \Rightarrow 24c = 96 \Rightarrow c = 4 \] Das ergibt: \[ h(x) = 3x + 4 \] Wenn wir \( b = -3 \) setzen: \[ 8(-3)c = 96 \Rightarrow -24c = 96 \Rightarrow c = -4 \] Das ergibt: \[ h(x) = -3x - 4 \] Somit gibt es zwei mögliche Lösungen für \( h(x) \): 1. \( h(x) = 3x + 4 \) 2. \( h(x) = -3x - 4 \) Die Funktion \( h(x) \) kann also entweder \( 3x + 4 \) oder \( -3x - 4 \) sein.
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