Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Wie erkenne ich, ob eine Funktion fallend oder wachsend ist?
Antwort vomUm zu erkennen, ob eine Funktion \( f(x) \) fallend oder wachsend ist, kannst du die erste Ableitung \( f'(x) \) der Funktion verwenden: 1. **Wachsend**: Eine Funktion \( f(x) \) ist in einem Intervall \( I \) wachsend, wenn \( f'(x) > 0 \) für alle \( x \) in \( I \). Das bedeutet, dass die Steigung der Tangente an jedem Punkt in diesem Intervall positiv ist. 2. **Fallend**: Eine Funktion \( f(x) \) ist in einem Intervall \( I \) fallend, wenn \( f'(x) < 0 \) für alle \( x \) in \( I \). Das bedeutet, dass die Steigung der Tangente an jedem Punkt in diesem Intervall negativ ist. 3. **Konstant**: Eine Funktion \( f(x) \) ist in einem Intervall \( I \) konstant, wenn \( f'(x) = 0 \) für alle \( x \) in \( I \). Zusammengefasst: - Berechne die erste Ableitung \( f'(x) \). - Untersuche das Vorzeichen von \( f'(x) \) in den interessierenden Intervallen. Beispiel: Für die Funktion \( f(x) = x^2 \): - Die erste Ableitung ist \( f'(x) = 2x \). - \( f'(x) > 0 \) für \( x > 0 \) (die Funktion ist wachsend für \( x > 0 \)). - \( f'(x) < 0 \) für \( x < 0 \) (die Funktion ist fallend für \( x < 0 \)). - \( f'(x) = 0 \) bei \( x = 0 \) (die Funktion hat hier einen Wendepunkt). Diese Methode hilft dir, das Verhalten der Funktion in verschiedenen Intervallen zu bestimmen.
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