Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Ableitungen von f(x)=12x*e^x?
Antwort vomUm die Ableitungen der Funktion \( f(x) = 12x \cdot e^x \) zu berechnen, verwenden wir die Produktregel. Die Produktregel besagt, dass für zwei Funktionen \( u(x) \) und \( v(x) \): \[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \] Hier ist \( u(x) = 12x \) und \( v(x) = e^x \). 1. **Erste Ableitung:** \[ f'(x) = (12x)' \cdot e^x + 12x \cdot (e^x)' \] Die Ableitungen der einzelnen Funktionen sind: \[ (12x)' = 12 \] \[ (e^x)' = e^x \] Setzen wir diese in die Produktregel ein: \[ f'(x) = 12 \cdot e^x + 12x \cdot e^x \] \[ f'(x) = 12e^x + 12xe^x \] \[ f'(x) = 12e^x (1 + x) \] 2. **Zweite Ableitung:** Für die zweite Ableitung verwenden wir erneut die Produktregel auf \( f'(x) = 12e^x (1 + x) \): \[ f''(x) = (12e^x)' \cdot (1 + x) + 12e^x \cdot (1 + x)' \] Die Ableitungen der einzelnen Funktionen sind: \[ (12e^x)' = 12e^x \] \[ (1 + x)' = 1 \] Setzen wir diese in die Produktregel ein: \[ f''(x) = 12e^x \cdot (1 + x) + 12e^x \cdot 1 \] \[ f''(x) = 12e^x (1 + x) + 12e^x \] \[ f''(x) = 12e^x (1 + x + 1) \] \[ f''() = 12e^x (2 + x) \] 3. **Dritte Ableitung:** Für die dritte Ableitung verwenden wir erneut die Produktregel auf \( f''(x) = 12e^x (2 + x) \): \[ f'''(x) = (12e^x)' \cdot (2 + x) + 12e^x \cdot (2 + x)' \] Die Ableitungen der einzelnen Funktionen sind: \[ (12e^x)' = 12e^x \] \[ (2 + x)' = 1 \] Setzen wir diese in die Produktregel ein: \[ f'''(x) = 12e^x \cdot (2 + x) + 12e^x \cdot 1 \] \[ f'''(x) = 12e^x (2 + x) + 12e^x \] \[ f'''(x) = 12e^x (2 + x + 1) \] \[ f'''(x) = 12e^x (3 + x) \] Zusammengefasst sind die Ableitungen: 1. \( f'(x) = 12e^x (1 + x) \) 2. \( f''(x) = 12e^x (2 + x) \) 3. \( f'''(x = 12e^x (3 + x) \)
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