7 Fragen zu Quantoren

Um den Wahrheitswert der Aussage \(\forall y \exists x (x \cdot y = 1)\) für die Mengen \(M = \mathbb{N}\), \(M = \mathbb{Z}\) und \(M = \mathbb{R}^+\) zu bestimmen, betrachten wir die Bedeutung der Quantoren und die Struktur der jeweiligen Mengen. 1. **Für \(M = \mathbb{N}\) (natürliche Zahlen)**: - Die Aussage besagt, dass für jede natürliche Zahl \(y\) eine natürliche Zahl \(x\) existiert, sodass \(x \cdot y = 1\). - Für \(y = \) gibt es \(x = 1\), was die Gleichung erfüllt. Für \(y > 1\) gibt es jedoch kein \(x \in \mathbb{N}\), das die Gleichung \(x \cdot y = 1\) erfüllt, da das Produkt von zwei natürlichen Zahlen immer größer oder gleich 1 ist. - **Wahrheitswert**: Falsch. 2. **Für \(M = \mathbb{Z}\) (ganze Zahlen)**: - Hier gilt die Aussage, dass für jede ganze Zahl \(y\) eine ganze Zahl \(x\) existiert, sodass \(x \cdot y = 1\). - Für \(y = 1\) gibt es \(x = 1\), und für \(y = -1\) gibt es \(x = -1\). Für \(y = 0\) gibt es kein \(x\), das die Gleichung erfüllt, da \(x \cdot 0 = 0\) für alle \(x\). - **Wahrheitswert**: Falsch. 3. **Für \(M = \mathbb{R}^+\) (positive reelle Zahlen)**: - Hier besagt die Aussage, dass für jede positive reelle Zahl \(y\) eine positive reelle Zahl \(x\) existiert, sodass \(x \cdot y = 1\). - Für jede positive Zahl \(y\) kann man \(x = \frac{1}{y}\) wählen, was immer eine positive reelle Zahl ist. - **Wahrheitswert**: Wahr. Zusammenfassend ergibt sich: - Für \(M = \mathbb{N}\): Falsch - Für \(M = \mathbb{Z}\): Falsch - Für \(M = \mathbb{R}^+\): Wahr

Der Fehler in der quantorenlogischen Aussage liegt in der falschen Umformulierung der Negation. Die Aussage „Es gilt nicht (A => B)“ bedeutet, dass die Implikation A => B falsch ist. Eine Implikation A => B ist genau dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist. Die korrekte Negation von A => B ist also A ∧ ¬B (A ist wahr und B ist falsch), nicht B => ¬A. Die Umformulierung B => ¬A ist nicht äquivalent zur Negation von A => B. Tatsächlich bedeutet B => ¬A, dass wenn B wahr ist, A falsch sein muss, was eine andere Beziehung zwischen A und B beschreibt.

Um die Negation der gegebenen Aussage zu bilden, müssen wir die Quantoren und die logischen Operatoren umkehren. Die ursprüngliche Aussage lautet: \[ \exists v \in \mathbb{R}^2 \setminus \{0\} \, \exists u \in \mathbb{R}^2 \, \forall \alpha \in \mathbb{R}, w \in \mathbb{R}^2 : (u \neq \alpha v + w) \lor (\langle v, w \rangle \neq 0) \] Die Negation dieser Aussage wird wie folgt gebildet: 1. Der äußere Existenzquantor \(\exists\) wird zu einem Allquantor \(\forall\). 2. Der innere Existenzquantor \(\exists\) wird ebenfalls zu einem Allquantor \(\forall\). 3. Der Allquantor \(\forall\) wird zu einem Existenzquantor \(\exists\). 4. Die logische Disjunktion \(\lor\) wird zu einer logischen Konjunktion \(\land\). 5. Die Ungleichheit \(u \neq \alpha v + w\) wird zu \(u = \alpha v + w\). 6. Die Ungleichheit \(\langle v, w \rangle \neq 0\) wird zu \(\langle v, w \rangle = 0\). Die Negation lautet also: \[ \forall v \in \mathbb{R}^2 \setminus \{0\} \, \forall u \in \mathbb{R}^2 \, \exists \alpha \in \mathbb{R}, w \in \mathbb{R}^2 : (u = \alpha v + w) \land (\langle v, w \rangle = 0) \] Dies ist die gesuchte Negation der ursprünglichen Aussage.

Um die Negation der Aussage \( \exists x \geq 0 \, \forall y \in \mathbb{R} : x = y^2 \Rightarrow y > 0 \) zu bilden, gehen wir schrittweise vor. 1. Die ursprüngliche Aussage lautet: Es existiert ein \( x \) größer oder gleich 0, sodass für alle \( y \) in den reellen Zahlen gilt: Wenn \( x = y^2 \), dann ist \( y > 0 \). 2. Die Negation der Existenzquantifizierung \( \exists \) ist die Allquantifizierung \( \forall \). Das bedeutet, dass wir die Aussage umkehren müssen: Es gilt für alle \( x \geq 0 \). 3. Die Negation der Allquantifizierung \( \forall \) ist die Existenzquantifizierung \( \exists \). Das bedeutet, dass es ein \( y \) gibt, für das die Aussage nicht gilt. 4. Die Implikation \( x = y^2 \Rightarrow y > 0 \) negieren wir, was bedeutet, dass \( x = y^2 \) wahr ist und \( y > 0 \) falsch ist. Das heißt, \( y \leq 0 \). Die Negation der ursprünglichen Aussage lautet also: \[ \forall x \geq 0 \, \exists y \in \mathbb{R} : x = y^2 \land y \leq 0 \] Das bedeutet, dass für jedes nicht-negative \( x \) ein \( y \) existiert, das die Gleichung \( x = y^2 \) erfüllt und gleichzeitig \( y \) kleiner oder gleich 0 ist.

Um den Wahrheitswert der Aussage \(\forall y \exists x (x + y = 1)\) für die Mengen \(M = \mathbb{N}\), \(M = \mathbb{Z}\) und \(M = \mathbb{R}^+\) zu bestimmen, betrachten wir die Bedeutung der Quantoren und die Gleichung. 1. **Für \(M = \mathbb{N}\)** (natürliche Zahlen): - Die Aussage lautet: Für jede natürliche Zahl \(y\) gibt es eine natürliche Zahl \(x\), sodass \(x + y = 1\). - Wenn \(y = 1\), dann ist \(x = 0\), aber \(0\) gehört nicht zu \(\mathbb{N}\) (wenn man \(0\) nicht einbezieht). Für \(y > 1\) gibt es kein \(x\), das die Gleichung erfüllt, da \(x\) negativ sein müsste. - **Wahrheitswert**: Falsch. 2. **Für \(M = \mathbb{Z}\)** (ganze Zahlen): - Die Aussage lautet: Für jede ganze Zahl \(y\) gibt es eine ganze Zahl \(x\), sodass \(x + y = 1\). - Für jede ganze Zahl \(y\) kann man \(x = 1 - y\) wählen, was immer eine ganze Zahl ist. - **Wahrheitswert**: Wahr. 3. **Für \(M = \mathbb{R}^+\)** (positive reelle Zahlen): - Die Aussage lautet: Für jede positive reelle Zahl \(y\) gibt es eine positive reelle Zahl \(x\), sodass \(x + y = 1\). - Man kann \(x = 1 - y\) wählen. Damit \(x\) positiv ist, muss \(1 - y > 0\) gelten, was bedeutet, dass \(y < 1\ sein muss. Für \(y \geq 1\) ist \(x\) nicht positiv. - **Wahrheitswert**: Falsch. Zusammenfassend: - Für \(M = \mathbb{N}\): Falsch - Für \(M = \mathbb{Z}\): Wahr - Für \(M = \mathbb{R}^+\): Falsch

Um den Wahrheitswert der Aussage \(\exists x \forall y (x + y = 1)\) für die Mengen \(M = \mathbb{N}\), \(M = \mathbb{Z}\) und \(M = \mathbb{R}^+\) zu bestimmen, betrachten wir die Bedeutung der Quantoren und die Struktur der jeweiligen Mengen. 1. **Für \(M = \mathbb{N}\)** (natürliche Zahlen): - Die Aussage besagt, dass es ein \(x \in \mathbb{N}\) gibt, sodass für alle \(y \in \mathbb{N}\) gilt: \(x + y = 1\). - Wenn \(x = 1\) gewählt wird, dann ist \(1 + y = 1\) nur für \(y = 0\) wahr, aber \(0\) ist nicht in \(\mathbb{N}\) (wenn wir \(\mathbb{N}\) als \(\{1, 2, 3, \ldots\}\) definieren). - Für \(x = 0\) (was in manchen Definitionen von \(\mathbb{N}\) enthalten ist) gilt \(0 + y = 1\) nur für \(y = 1\), aber das ist nicht für alle \(y\) wahr. - Daher ist die Aussage in \(\mathbb{N}\) **falsch**. 2. **Für \(M = \mathbb{Z}\)** (ganze Zahlen): - Hier gibt es \(x \in \mathbb{Z}\), sodass für alle \(y \in \mathbb{Z}\) gilt: \(x + y = 1\). - Wenn wir \(x = 1\) wählen, dann gilt \(1 + y = 1\) nur für \(y = 0\), was nicht für alle \(y\) gilt. - Wenn wir \(x = 0\) wählen, dann gilt \(0 + y = 1\) nur für \(y = 1\), was ebenfalls nicht für alle \(y\) gilt. - Für negative Werte von \(x\) wird es noch schwieriger, eine Lösung zu finden, die für alle \(y\) gilt. - Daher ist die Aussage in \(\mathbb{Z}\) **falsch**. 3. **Für \(M = \mathbb{R}^+\)** (positive reelle Zahlen): - Hier gibt es \(x \in \mathbb{R}^+\), sodass für alle \(y \in \mathbb{R}^+\) gilt: \(x + y = 1\). - Wenn wir \(x = 1\) wählen, dann gilt \(1 + y = 1\) nur für \(y = 0\), was nicht in \(\mathbb{R}^+\) enthalten ist. - Wenn \(x < 1\) gewählt wird, dann gibt es immer positive \(y\), sodass \(x + y > 1\). - Daher ist die Aussage in \(\mathbb{R}^+\) **falsch**. Zusammenfassend ist die Aussage \(\exists x \forall y (x + y = 1)\) für alle drei Mengen \(M = \mathbb{N}\), \(M = \mathbb{Z}\) und \(M = \mathbb{R}^+\) **falsch**.

Um den Wahrheitswert der Aussage \(\exists x \forall y (x \cdot y = 1)\) für die Mengen \(M = \mathbb{N}\), \(M = \mathbb{Z}\) und \(M = \mathbb{R}^+\) zu bestimmen, betrachten wir die Bedeutung der Quantoren und die Struktur der jeweiligen Mengen. 1. **Für \(M = \mathbb{N}\)** (natürliche Zahlen): - Die Aussage besagt, dass es ein \(x\) in den natürlichen Zahlen gibt, sodass für alle \(y\) in den natürlichen Zahlen gilt, dass \(x \cdot y = 1\). - In den natürlichen Zahlen ist das einzige \(x\), das diese Bedingung erfüllen könnte, die 1. Für \(y = 1\) gilt \(1 \cdot 1 = 1\), aber für \(y = 2\) gilt \(1 \cdot 2 = 2 \neq 1\). - Daher gibt es kein \(x\) in \(\mathbb{N}\), das die Bedingung für alle \(y\) erfüllt. - **Wahrheitswert: Falsch.** 2. **Für \(M = \mathbb{Z}\)** (ganze Zahlen): - Hier gilt dasselbe Prinzip. Es gibt \(x\) in den ganzen Zahlen, sodass für alle \(y\) in den ganzen Zahlen \(x \cdot y = 1\). - Das einzige \(x\), das diese Bedingung erfüllen könnte, ist 1 oder -1. Für \(y = 1\) gilt \(1 \cdot 1 = 1\) und \(-1 \cdot -1 = 1\), aber für \(y = 2\) gilt \(1 \cdot 2 = 2 \neq 1\) und \(-1 \cdot 2 = -2 \neq 1\). - Daher gibt es kein \(x\) in \(\mathbb{Z}\), das die Bedingung für alle \(y\) erfüllt. - **Wahrheitswert: Falsch.** 3. **Für \(M = \mathbb{R}^+\)** (positive reelle Zahlen): - Hier gibt es positive reelle Zahlen \(x\) und \(y\), sodass \(x \cdot y = 1\). Zum Beispiel, wenn \(x = 1\), dann gilt für alle \(y\) in \(\mathbb{R}^+\), dass \(1 \cdot y = y\), was nicht gleich 1 ist, es sei denn, \(y = 1\). - Wenn wir jedoch \(x\) als \(1/y\) wählen, dann gilt \(x \cdot y = (1/y) \cdot y = 1\). Das bedeutet, dass für jedes \(y\) in \(\mathbb{R}^+\) ein entsprechendes \(x\) existiert, das die Bedingung erfüllt. - **Wahrheitswert: Wahr.** Zusammenfassend ergibt sich: - Für \(M = \mathbb{N}\): Falsch - Für \(M = \mathbb{Z}\): Falsch - Für \(M = \mathbb{R}^+\): Wahr