4 Fragen zu Wahrheitswert

Um den Wahrheitswert der Aussage \(\forall y \exists x (x + y = 1)\) für die Mengen \(M = \mathbb{N}\), \(M = \mathbb{Z}\) und \(M = \mathbb{R}^+\) zu bestimmen, betrachten wir die Bedeutung der Quantoren und die Gleichung. 1. **Für \(M = \mathbb{N}\)** (natürliche Zahlen): - Die Aussage lautet: Für jede natürliche Zahl \(y\) gibt es eine natürliche Zahl \(x\), sodass \(x + y = 1\). - Wenn \(y = 1\), dann ist \(x = 0\), aber \(0\) gehört nicht zu \(\mathbb{N}\) (wenn man \(0\) nicht einbezieht). Für \(y > 1\) gibt es kein \(x\), das die Gleichung erfüllt, da \(x\) negativ sein müsste. - **Wahrheitswert**: Falsch. 2. **Für \(M = \mathbb{Z}\)** (ganze Zahlen): - Die Aussage lautet: Für jede ganze Zahl \(y\) gibt es eine ganze Zahl \(x\), sodass \(x + y = 1\). - Für jede ganze Zahl \(y\) kann man \(x = 1 - y\) wählen, was immer eine ganze Zahl ist. - **Wahrheitswert**: Wahr. 3. **Für \(M = \mathbb{R}^+\)** (positive reelle Zahlen): - Die Aussage lautet: Für jede positive reelle Zahl \(y\) gibt es eine positive reelle Zahl \(x\), sodass \(x + y = 1\). - Man kann \(x = 1 - y\) wählen. Damit \(x\) positiv ist, muss \(1 - y > 0\) gelten, was bedeutet, dass \(y < 1\ sein muss. Für \(y \geq 1\) ist \(x\) nicht positiv. - **Wahrheitswert**: Falsch. Zusammenfassend: - Für \(M = \mathbb{N}\): Falsch - Für \(M = \mathbb{Z}\): Wahr - Für \(M = \mathbb{R}^+\): Falsch

Um den Wahrheitswert der Aussage \(\exists x \forall y (x + y = 1)\) für die Mengen \(M = \mathbb{N}\), \(M = \mathbb{Z}\) und \(M = \mathbb{R}^+\) zu bestimmen, betrachten wir die Bedeutung der Quantoren und die Struktur der jeweiligen Mengen. 1. **Für \(M = \mathbb{N}\)** (natürliche Zahlen): - Die Aussage besagt, dass es ein \(x \in \mathbb{N}\) gibt, sodass für alle \(y \in \mathbb{N}\) gilt: \(x + y = 1\). - Wenn \(x = 1\) gewählt wird, dann ist \(1 + y = 1\) nur für \(y = 0\) wahr, aber \(0\) ist nicht in \(\mathbb{N}\) (wenn wir \(\mathbb{N}\) als \(\{1, 2, 3, \ldots\}\) definieren). - Für \(x = 0\) (was in manchen Definitionen von \(\mathbb{N}\) enthalten ist) gilt \(0 + y = 1\) nur für \(y = 1\), aber das ist nicht für alle \(y\) wahr. - Daher ist die Aussage in \(\mathbb{N}\) **falsch**. 2. **Für \(M = \mathbb{Z}\)** (ganze Zahlen): - Hier gibt es \(x \in \mathbb{Z}\), sodass für alle \(y \in \mathbb{Z}\) gilt: \(x + y = 1\). - Wenn wir \(x = 1\) wählen, dann gilt \(1 + y = 1\) nur für \(y = 0\), was nicht für alle \(y\) gilt. - Wenn wir \(x = 0\) wählen, dann gilt \(0 + y = 1\) nur für \(y = 1\), was ebenfalls nicht für alle \(y\) gilt. - Für negative Werte von \(x\) wird es noch schwieriger, eine Lösung zu finden, die für alle \(y\) gilt. - Daher ist die Aussage in \(\mathbb{Z}\) **falsch**. 3. **Für \(M = \mathbb{R}^+\)** (positive reelle Zahlen): - Hier gibt es \(x \in \mathbb{R}^+\), sodass für alle \(y \in \mathbb{R}^+\) gilt: \(x + y = 1\). - Wenn wir \(x = 1\) wählen, dann gilt \(1 + y = 1\) nur für \(y = 0\), was nicht in \(\mathbb{R}^+\) enthalten ist. - Wenn \(x < 1\) gewählt wird, dann gibt es immer positive \(y\), sodass \(x + y > 1\). - Daher ist die Aussage in \(\mathbb{R}^+\) **falsch**. Zusammenfassend ist die Aussage \(\exists x \forall y (x + y = 1)\) für alle drei Mengen \(M = \mathbb{N}\), \(M = \mathbb{Z}\) und \(M = \mathbb{R}^+\) **falsch**.

Um den Wahrheitswert der Aussage \(\forall y \exists x (x \cdot y = 1)\) für die Mengen \(M = \mathbb{N}\), \(M = \mathbb{Z}\) und \(M = \mathbb{R}^+\) zu bestimmen, betrachten wir die Bedeutung der Quantoren und die Struktur der jeweiligen Mengen. 1. **Für \(M = \mathbb{N}\) (natürliche Zahlen)**: - Die Aussage besagt, dass für jede natürliche Zahl \(y\) eine natürliche Zahl \(x\) existiert, sodass \(x \cdot y = 1\). - Für \(y = \) gibt es \(x = 1\), was die Gleichung erfüllt. Für \(y > 1\) gibt es jedoch kein \(x \in \mathbb{N}\), das die Gleichung \(x \cdot y = 1\) erfüllt, da das Produkt von zwei natürlichen Zahlen immer größer oder gleich 1 ist. - **Wahrheitswert**: Falsch. 2. **Für \(M = \mathbb{Z}\) (ganze Zahlen)**: - Hier gilt die Aussage, dass für jede ganze Zahl \(y\) eine ganze Zahl \(x\) existiert, sodass \(x \cdot y = 1\). - Für \(y = 1\) gibt es \(x = 1\), und für \(y = -1\) gibt es \(x = -1\). Für \(y = 0\) gibt es kein \(x\), das die Gleichung erfüllt, da \(x \cdot 0 = 0\) für alle \(x\). - **Wahrheitswert**: Falsch. 3. **Für \(M = \mathbb{R}^+\) (positive reelle Zahlen)**: - Hier besagt die Aussage, dass für jede positive reelle Zahl \(y\) eine positive reelle Zahl \(x\) existiert, sodass \(x \cdot y = 1\). - Für jede positive Zahl \(y\) kann man \(x = \frac{1}{y}\) wählen, was immer eine positive reelle Zahl ist. - **Wahrheitswert**: Wahr. Zusammenfassend ergibt sich: - Für \(M = \mathbb{N}\): Falsch - Für \(M = \mathbb{Z}\): Falsch - Für \(M = \mathbb{R}^+\): Wahr

Um den Wahrheitswert der Aussage \(\exists x \forall y (x \cdot y = 1)\) für die Mengen \(M = \mathbb{N}\), \(M = \mathbb{Z}\) und \(M = \mathbb{R}^+\) zu bestimmen, betrachten wir die Bedeutung der Quantoren und die Struktur der jeweiligen Mengen. 1. **Für \(M = \mathbb{N}\)** (natürliche Zahlen): - Die Aussage besagt, dass es ein \(x\) in den natürlichen Zahlen gibt, sodass für alle \(y\) in den natürlichen Zahlen gilt, dass \(x \cdot y = 1\). - In den natürlichen Zahlen ist das einzige \(x\), das diese Bedingung erfüllen könnte, die 1. Für \(y = 1\) gilt \(1 \cdot 1 = 1\), aber für \(y = 2\) gilt \(1 \cdot 2 = 2 \neq 1\). - Daher gibt es kein \(x\) in \(\mathbb{N}\), das die Bedingung für alle \(y\) erfüllt. - **Wahrheitswert: Falsch.** 2. **Für \(M = \mathbb{Z}\)** (ganze Zahlen): - Hier gilt dasselbe Prinzip. Es gibt \(x\) in den ganzen Zahlen, sodass für alle \(y\) in den ganzen Zahlen \(x \cdot y = 1\). - Das einzige \(x\), das diese Bedingung erfüllen könnte, ist 1 oder -1. Für \(y = 1\) gilt \(1 \cdot 1 = 1\) und \(-1 \cdot -1 = 1\), aber für \(y = 2\) gilt \(1 \cdot 2 = 2 \neq 1\) und \(-1 \cdot 2 = -2 \neq 1\). - Daher gibt es kein \(x\) in \(\mathbb{Z}\), das die Bedingung für alle \(y\) erfüllt. - **Wahrheitswert: Falsch.** 3. **Für \(M = \mathbb{R}^+\)** (positive reelle Zahlen): - Hier gibt es positive reelle Zahlen \(x\) und \(y\), sodass \(x \cdot y = 1\). Zum Beispiel, wenn \(x = 1\), dann gilt für alle \(y\) in \(\mathbb{R}^+\), dass \(1 \cdot y = y\), was nicht gleich 1 ist, es sei denn, \(y = 1\). - Wenn wir jedoch \(x\) als \(1/y\) wählen, dann gilt \(x \cdot y = (1/y) \cdot y = 1\). Das bedeutet, dass für jedes \(y\) in \(\mathbb{R}^+\) ein entsprechendes \(x\) existiert, das die Bedingung erfüllt. - **Wahrheitswert: Wahr.** Zusammenfassend ergibt sich: - Für \(M = \mathbb{N}\): Falsch - Für \(M = \mathbb{Z}\): Falsch - Für \(M = \mathbb{R}^+\): Wahr