Um den Wahrheitswert der Aussage \(\forall y \exists x (x + y = 1)\) für die Mengen \(M = \mathbb{N}\), \(M = \mathbb{Z}\) und \(M = \mathbb{R}^+\) zu bestimmen, betrachten wir die Bedeutung der Quantoren und die Gleichung. 1. **Für \(M = \mathbb{N}\)** (natürliche Zahlen): - Die Aussage lautet: Für jede natürliche Zahl \(y\) gibt es eine natürliche Zahl \(x\), sodass \(x + y = 1\). - Wenn \(y = 1\), dann ist \(x = 0\), aber \(0\) gehört nicht zu \(\mathbb{N}\) (wenn man \(0\) nicht einbezieht). Für \(y > 1\) gibt es kein \(x\), das die Gleichung erfüllt, da \(x\) negativ sein müsste. - **Wahrheitswert**: Falsch. 2. **Für \(M = \mathbb{Z}\)** (ganze Zahlen): - Die Aussage lautet: Für jede ganze Zahl \(y\) gibt es eine ganze Zahl \(x\), sodass \(x + y = 1\). - Für jede ganze Zahl \(y\) kann man \(x = 1 - y\) wählen, was immer eine ganze Zahl ist. - **Wahrheitswert**: Wahr. 3. **Für \(M = \mathbb{R}^+\)** (positive reelle Zahlen): - Die Aussage lautet: Für jede positive reelle Zahl \(y\) gibt es eine positive reelle Zahl \(x\), sodass \(x + y = 1\). - Man kann \(x = 1 - y\) wählen. Damit \(x\) positiv ist, muss \(1 - y > 0\) gelten, was bedeutet, dass \(y < 1\ sein muss. Für \(y \geq 1\) ist \(x\) nicht positiv. - **Wahrheitswert**: Falsch. Zusammenfassend: - Für \(M = \mathbb{N}\): Falsch - Für \(M = \mathbb{Z}\): Wahr - Für \(M = \mathbb{R}^+\): Falsch