Um den Wahrheitswert der Aussage \(\exists x \forall y (x + y = 1)\) für die Mengen \(M = \mathbb{N}\), \(M = \mathbb{Z}\) und \(M = \mathbb{R}^+\) zu bestimmen, betrachten wir die Bedeutung der Quantoren und die Struktur der jeweiligen Mengen. 1. **Für \(M = \mathbb{N}\)** (natürliche Zahlen): - Die Aussage besagt, dass es ein \(x \in \mathbb{N}\) gibt, sodass für alle \(y \in \mathbb{N}\) gilt: \(x + y = 1\). - Wenn \(x = 1\) gewählt wird, dann ist \(1 + y = 1\) nur für \(y = 0\) wahr, aber \(0\) ist nicht in \(\mathbb{N}\) (wenn wir \(\mathbb{N}\) als \(\{1, 2, 3, \ldots\}\) definieren). - Für \(x = 0\) (was in manchen Definitionen von \(\mathbb{N}\) enthalten ist) gilt \(0 + y = 1\) nur für \(y = 1\), aber das ist nicht für alle \(y\) wahr. - Daher ist die Aussage in \(\mathbb{N}\) **falsch**. 2. **Für \(M = \mathbb{Z}\)** (ganze Zahlen): - Hier gibt es \(x \in \mathbb{Z}\), sodass für alle \(y \in \mathbb{Z}\) gilt: \(x + y = 1\). - Wenn wir \(x = 1\) wählen, dann gilt \(1 + y = 1\) nur für \(y = 0\), was nicht für alle \(y\) gilt. - Wenn wir \(x = 0\) wählen, dann gilt \(0 + y = 1\) nur für \(y = 1\), was ebenfalls nicht für alle \(y\) gilt. - Für negative Werte von \(x\) wird es noch schwieriger, eine Lösung zu finden, die für alle \(y\) gilt. - Daher ist die Aussage in \(\mathbb{Z}\) **falsch**. 3. **Für \(M = \mathbb{R}^+\)** (positive reelle Zahlen): - Hier gibt es \(x \in \mathbb{R}^+\), sodass für alle \(y \in \mathbb{R}^+\) gilt: \(x + y = 1\). - Wenn wir \(x = 1\) wählen, dann gilt \(1 + y = 1\) nur für \(y = 0\), was nicht in \(\mathbb{R}^+\) enthalten ist. - Wenn \(x < 1\) gewählt wird, dann gibt es immer positive \(y\), sodass \(x + y > 1\). - Daher ist die Aussage in \(\mathbb{R}^+\) **falsch**. Zusammenfassend ist die Aussage \(\exists x \forall y (x + y = 1)\) für alle drei Mengen \(M = \mathbb{N}\), \(M = \mathbb{Z}\) und \(M = \mathbb{R}^+\) **falsch**.