Bestimme den Wahrheitswert der Aussage für M= N, M= Z und M= R+ mit Begründung: Existenzquantor x und Allquantor y für (x mal y) = 1.

Um den Wahrheitswert der Aussage \(\exists x \forall y (x \cdot y = 1)\) für die Mengen \(M = \mathbb{N}\), \(M = \mathbb{Z}\) und \(M = \mathbb{R}^+\) zu bestimmen, betrachten wir die Bedeutung der Quantoren und die Struktur der jeweiligen Mengen.

1. **Für \(M = \mathbb{N}\)** (natürliche Zahlen):
- Die Aussage besagt, dass es ein \(x\) in den natürlichen Zahlen gibt, sodass für alle \(y\) in den natürlichen Zahlen gilt, dass \(x \cdot y = 1\).
- In den natürlichen Zahlen ist das einzige \(x\), das diese Bedingung erfüllen könnte, die 1. Für \(y = 1\) gilt \(1 \cdot 1 = 1\), aber für \(y = 2\) gilt \(1 \cdot 2 = 2 \neq 1\).
- Daher gibt es kein \(x\) in \(\mathbb{N}\), das die Bedingung für alle \(y\) erfüllt.
- **Wahrheitswert: Falsch.**

2. **Für \(M = \mathbb{Z}\)** (ganze Zahlen):
- Hier gilt dasselbe Prinzip. Es gibt \(x\) in den ganzen Zahlen, sodass für alle \(y\) in den ganzen Zahlen \(x \cdot y = 1\).
- Das einzige \(x\), das diese Bedingung erfüllen könnte, ist 1 oder -1. Für \(y = 1\) gilt \(1 \cdot 1 = 1\) und \(-1 \cdot -1 = 1\), aber für \(y = 2\) gilt \(1 \cdot 2 = 2 \neq 1\) und \(-1 \cdot 2 = -2 \neq 1\).
- Daher gibt es kein \(x\) in \(\mathbb{Z}\), das die Bedingung für alle \(y\) erfüllt.
- **Wahrheitswert: Falsch.**

3. **Für \(M = \mathbb{R}^+\)** (positive reelle Zahlen):
- Hier gibt es positive reelle Zahlen \(x\) und \(y\), sodass \(x \cdot y = 1\). Zum Beispiel, wenn \(x = 1\), dann gilt für alle \(y\) in \(\mathbb{R}^+\), dass \(1 \cdot y = y\), was nicht gleich 1 ist, es sei denn, \(y = 1\).
- Wenn wir jedoch \(x\) als \(1/y\) wählen, dann gilt \(x \cdot y = (1/y) \cdot y = 1\). Das bedeutet, dass für jedes \(y\) in \(\mathbb{R}^+\) ein entsprechendes \(x\) existiert, das die Bedingung erfüllt.
- **Wahrheitswert: Wahr.**

Zusammenfassend ergibt sich:
- Für \(M = \mathbb{N}\): Falsch
- Für \(M = \mathbb{Z}\): Falsch
- Für \(M = \mathbb{R}^+\): Wahr