Um den Wahrheitswert der Aussage \(\forall y \exists x (x \cdot y = 1)\) für die Mengen \(M = \mathbb{N}\), \(M = \mathbb{Z}\) und \(M = \mathbb{R}^+\) zu bestimmen, betrachten wir die Bedeutung der Quantoren und die Struktur der jeweiligen Mengen. 1. **Für \(M = \mathbb{N}\) (natürliche Zahlen)**: - Die Aussage besagt, dass für jede natürliche Zahl \(y\) eine natürliche Zahl \(x\) existiert, sodass \(x \cdot y = 1\). - Für \(y = \) gibt es \(x = 1\), was die Gleichung erfüllt. Für \(y > 1\) gibt es jedoch kein \(x \in \mathbb{N}\), das die Gleichung \(x \cdot y = 1\) erfüllt, da das Produkt von zwei natürlichen Zahlen immer größer oder gleich 1 ist. - **Wahrheitswert**: Falsch. 2. **Für \(M = \mathbb{Z}\) (ganze Zahlen)**: - Hier gilt die Aussage, dass für jede ganze Zahl \(y\) eine ganze Zahl \(x\) existiert, sodass \(x \cdot y = 1\). - Für \(y = 1\) gibt es \(x = 1\), und für \(y = -1\) gibt es \(x = -1\). Für \(y = 0\) gibt es kein \(x\), das die Gleichung erfüllt, da \(x \cdot 0 = 0\) für alle \(x\). - **Wahrheitswert**: Falsch. 3. **Für \(M = \mathbb{R}^+\) (positive reelle Zahlen)**: - Hier besagt die Aussage, dass für jede positive reelle Zahl \(y\) eine positive reelle Zahl \(x\) existiert, sodass \(x \cdot y = 1\). - Für jede positive Zahl \(y\) kann man \(x = \frac{1}{y}\) wählen, was immer eine positive reelle Zahl ist. - **Wahrheitswert**: Wahr. Zusammenfassend ergibt sich: - Für \(M = \mathbb{N}\): Falsch - Für \(M = \mathbb{Z}\): Falsch - Für \(M = \mathbb{R}^+\): Wahr