Disjunktion und Konjunktion sind Begriffe aus der Logik und der Mathematik, die sich auf die Verknüpfung von Aussagen beziehen. 1. **Disjunktion**: Dies ist eine logische Verknüpfung, die z... [mehr]
Bilde die Negation von: ∃x ≥ 0 ∀y ∈ R: x = y² ⇒ y > 0?
AntwortUm die Negation der Aussage \( \exists x \geq 0 \, \forall y \in \mathbb{R} : x = y^2 \Rightarrow y > 0 \) zu bilden, gehen wir schrittweise vor. 1. Die ursprüngliche Aussage lautet: Es existiert ein \( x \) größer oder gleich 0, sodass für alle \( y \) in den reellen Zahlen gilt: Wenn \( x = y^2 \), dann ist \( y > 0 \). 2. Die Negation der Existenzquantifizierung \( \exists \) ist die Allquantifizierung \( \forall \). Das bedeutet, dass wir die Aussage umkehren müssen: Es gilt für alle \( x \geq 0 \). 3. Die Negation der Allquantifizierung \( \forall \) ist die Existenzquantifizierung \( \exists \). Das bedeutet, dass es ein \( y \) gibt, für das die Aussage nicht gilt. 4. Die Implikation \( x = y^2 \Rightarrow y > 0 \) negieren wir, was bedeutet, dass \( x = y^2 \) wahr ist und \( y > 0 \) falsch ist. Das heißt, \( y \leq 0 \). Die Negation der ursprünglichen Aussage lautet also: \[ \forall x \geq 0 \, \exists y \in \mathbb{R} : x = y^2 \land y \leq 0 \] Das bedeutet, dass für jedes nicht-negative \( x \) ein \( y \) existiert, das die Gleichung \( x = y^2 \) erfüllt und gleichzeitig \( y \) kleiner oder gleich 0 ist.
