Bilde die Negation von: ∃v ∈ R² \ [0] ∃u ∈ R² ∀α ∈ R, w ∈ R² : (u ≠ αv + w) ∨ (⟨v, w⟩ ≠ 0)?

Question

Bilde die Negation von: ∃v ∈ R² \ [0] ∃u ∈ R² ∀α ∈ R, w ∈ R² : (u ≠ αv + w) ∨ (⟨v, w⟩ ≠ 0)?

Antwort

Verwandte Fragen

Was umfasst die analytische Geometrie?

Wie bestimme ich die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden mit Richtungsvektor und Normalenvektor?

Accepted Answer

Um die Negation der gegebenen Aussage zu bilden, müssen wir die Quantoren und die logischen Operatoren umkehren. Die ursprüngliche Aussage lautet: \[ \exists v \in \mathbb{R}^2 \setminus \{0\} \, \exists u \in \mathbb{R}^2 \, \forall \alpha \in \mathbb{R}, w \in \mathbb{R}^2 : (u \neq \alpha v + w) \lor (\langle v, w \rangle \neq 0) \] Die Negation dieser Aussage wird wie folgt gebildet: 1. Der äußere Existenzquantor \(\exists\) wird zu einem Allquantor \(\forall\). 2. Der innere Existenzquantor \(\exists\) wird ebenfalls zu einem Allquantor \(\forall\). 3. Der Allquantor \(\forall\) wird zu einem Existenzquantor \(\exists\). 4. Die logische Disjunktion \(\lor\) wird zu einer logischen Konjunktion \(\land\). 5. Die Ungleichheit \(u \neq \alpha v + w\) wird zu \(u = \alpha v + w\). 6. Die Ungleichheit \(\langle v, w \rangle \neq 0\) wird zu \(\langle v, w \rangle = 0\). Die Negation lautet also: \[ \forall v \in \mathbb{R}^2 \setminus \{0\} \, \forall u \in \mathbb{R}^2 \, \exists \alpha \in \mathbb{R}, w \in \mathbb{R}^2 : (u = \alpha v + w) \land (\langle v, w \rangle = 0) \] Dies ist die gesuchte Negation der ursprünglichen Aussage.

Accepted Answer

Zur analytischen Geometrie (auch Vektorgeometrie oder Koordinatengeometrie genannt) gehören alle mathematischen Methoden, mit denen geometrische Probleme mithilfe von Zahlen, Koordinaten und Glei... [mehr]

Accepted Answer

Zur analytischen Geometrie (auch Vektorgeometrie oder Koordinatengeometrie genannt) gehören alle mathematischen Methoden, mit denen geometrische Probleme mithilfe von Zahlen, Koordinaten und Gleichungen gelöst werden. Die wichtigsten Themenbereiche sind: - **Vektoren**: Darstellung, Rechenregeln, Linearkombinationen, Betrag, Skalarprodukt, Kreuzprodukt (im 3D-Raum). - **Geraden und Ebenen**: Darstellung in Parameterform, Koordinatenform, Schnittpunkte, Lagebeziehungen (z.B. parallel, identisch, windschief). - **Abstände**: Abstand Punkt–Punkt, Punkt–Gerade, Punkt–Ebene, Gerade–Gerade, Gerade–Ebene, Ebene–Ebene. - **Schnittpunkte und Schnittwinkel**: Berechnung von Schnittpunkten und Winkeln zwischen Geraden, Ebenen und zwischen Geraden und Ebenen. - **Koordinatensysteme**: Kartesisches Koordinatensystem im 2D- und 3D-Raum. - **Gleichungen geometrischer Objekte**: Kreise, Kugeln, Kegel, Zylinder, Ellipsen usw. in Koordinatendarstellung. - **Transformationen**: Spiegelungen, Verschiebungen, Drehungen im Raum. - **Anwendungen**: z.B. Berechnung von Flächeninhalten, Volumina, Schwerpunktberechnungen. Die analytische Geometrie verbindet also Algebra und Geometrie, indem sie geometrische Objekte mit Hilfe von Gleichungen und Koordinaten beschreibt und untersucht.

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Um die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden im Raum zu bestimmen, nutzt du den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene. Hier die wichtigsten Schritte: **1. Geradengleichung u... [mehr]

Accepted Answer

Um die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden im Raum zu bestimmen, nutzt du den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene. Hier die wichtigsten Schritte: **1. Geradengleichung und Ebenengleichung:** - Gerade: \(\vec{g}(t) = \vec{p} + t \cdot \vec{r}\) (\(\vec{p}\): Stützvektor, \(\vec{r}\): Richtungsvektor) - Ebene: \(\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{q}) = 0\) (\(\vec{n}\): Normalenvektor, \(\vec{q}\): Stützvektor der Ebene) **2. Lagebeziehungen:** **a) Gerade parallel zur Ebene:** Die Gerade ist parallel zur Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{r}\) senkrecht zum Normalenvektor der Ebene \(\vec{n}\) steht, also: \[ \vec{n} \cdot \vec{r} = 0 \] - Falls die Gerade nicht in der Ebene liegt, ist sie echt parallel. - Liegt sie in der Ebene, ist sie eine Teilmenge der Ebene. **b) Gerade schneidet die Ebene:** Die Gerade schneidet die Ebene, wenn: \[ \vec{n} \cdot \vec{r} \neq 0 \] In diesem Fall gibt es genau einen Schnittpunkt. Diesen erhältst du, indem du die Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzt und nach \(t\) auflöst. **c) Gerade liegt in der Ebene:** Die Gerade liegt in der Ebene, wenn sie parallel zur Ebene ist (\(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\)) **und** ein Punkt der Geraden (z.B. \(\vec{p}\)) die Ebenengleichung erfüllt: \[ \vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{q}) = 0 \] **Zusammenfassung:** - \(\vec{n} \cdot \vec{r} \neq 0\): Schnittpunkt vorhanden. - \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\) und \(\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{q}) \neq 0\): Gerade ist parallel, aber nicht in der Ebene. - \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\) und \(\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{q}) = 0\): Gerade liegt in der Ebene. **Weitere Infos:** - [Gerade und Ebene im Raum – Mathebibel.de](https://www.mathebibel.de/gerade-und-ebene-im-raum) - [Lagebeziehungen – Serlo.org](https://de.serlo.org/mathe/1887/lagebeziehungen-gerade-ebene) So kannst du mit Richtungs- und Normalenvektor die Lage bestimmen.