20 Fragen zu Einsetzungsverfahren

Um das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen, gehe wie folgt vor: 1. **Gleichung II nach \( y \) auflösen:** \[ y = 5x - 11 \] 2. **Den Ausdruck für \( y \) aus Gleichung II in Gleichung I einsetzen:** \[ 3x + (5x - 11) = 15 \] 3. **Die Gleichung vereinfachen:** \[ 3x + 5x - 11 = 15 \] \[ 8x - 11 = 15 \] 4. **Nach \( x \) auflösen:** \[ 8x = 15 + 11 \] \[ 8x = 26 \] \[ x = \frac{26}{8} \] \[ x = \frac{13}{4} \] 5. **Den Wert von \( x \) in die Gleichung II einsetzen, um \( y \) zu finden:** \[ y = 5 \left( \frac{13}{4} \right) - 11 \] \[ y = \frac{65}{4} - 11 \] \[ y = \frac{65}{4} - \frac{44}{4} \] \[ y = \frac{21}{4} \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = \frac{13}{4}, \quad y = \frac{21}{4} \]

Um das Einsetzungsverfahren zu verwenden, wird die zweite Gleichung in die erste eingesetzt. Die beiden Gleichungen sind: I: \( 3x + y = 15 \) II: \( y = 5x - 11 \) Schritt 1: Setze \( y \) aus der zweiten Gleichung in die erste Gleichung ein: \( 3x + (5x - 11) = 15 \) Schritt 2: Löse die resultierende Gleichung nach \( x \) auf: \( 3x + 5x - 11 = 15 \) \( 8x - 11 = 15 \) \( 8x = 26 \) \( x = \frac{26}{8} \) \( x = \frac{13}{4} \) \( x = 3.25 \) Schritt 3: Setze den Wert von \( x \) in die zweite Gleichung ein, um \( y \) zu finden: \( y = 5(3.25) - 11 \) \( y = 16.25 - 11 \) \( y = 5.25 \) Die Lösung des Gleichungssystems ist: \( x = 3.25 \) \( y = 5.25 \)

Um ein Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungs- oder Einsetzfahren zu lösen, folge diesen Schritten: ### Gleichsetzungsverfahren 1. **Gleichungen aufstellen**: Schreibe die beiden Gleichungen in der Form \( y = f(x) \) und \( y = g(x) \). 2. **Gleichsetzen**: Setze die beiden Ausdrücke für \( y \) gleich: \( f(x) = g(x) \). 3. **Lösen**: Löse die resultierende Gleichung nach \( x \) auf. 4. **Einsetzen**: Setze die gefundenen \( x \)-Werte in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um die entsprechenden \( y \)-Werte zu finden. ### Einsetzungsverfahren 1. **Gleichungen aufstellen**: Schreibe die beiden Gleichungen in der Form \( y = f(x) \) und \( y = g(x) \). 2. **Umstellen**: Stelle eine der Gleichungen nach einer der Variablen um (z.B. \( y = f(x) \)). 3. **Einsetzen**: Setze den Ausdruck für die umgestellte Variable in die andere Gleichung ein. 4. **Lösen**: Löse die resultierende Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf. 5. **Einsetzen**: Setze den gefundenen Wert in die umgestellte Gleichung ein, um die andere Variable zu finden. ### Beispiel Betrachte das Gleichungssystem: \[ 1) \quad y = 2x + 3 \] \[ 2) \quad y = -x + 1 \] #### Gleichsetzungsverfahren 1. Setze die beiden Gleichungen gleich: \[ 2x + 3 = -x + 1 \] 2. Löse nach \( x \): \[ 2x + x = 1 - 3 \] \[ 3x = -2 \] \[ x = -\frac{2}{3} \] 3. Setze \( x = -\frac{2}{3} \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, z.B. \( y = 2x + 3 \): \[ y = 2\left(-\frac{2}{3}\right) + 3 \] \[ y = -\frac{4}{3} + 3 \] \[ y = -\frac{4}{3} + \frac{9}{3} \] \[ y = \frac{5}{3} \] Die Lösung ist \( x = -\frac{2}{3} \) und \( y = \frac{5}{3} \). #### Einsetzungsverfahren 1. Stelle eine der Gleichungen nach einer Variablen um, z.B. \( y = 2x + 3 \). 2. Setze \( y = 2x + 3 \) in die zweite Gleichung ein: \[ 2x + 3 = -x + 1 \] 3. Löse nach \( x \): \[ 2x + x = 1 - 3 \] \[ 3x = -2 \] \[ x = -\frac{2}{3} \] 4. Setze \( x = -\frac{2}{3} \) in \( y = 2x + 3 \) ein: \[ y = 2\left(-\frac{2}{3}\right) + 3 \] \[ y = -\frac{4}{3} + 3 \] \[ y = \frac{5}{3} \] Die Lösung ist ebenfalls \( x = -\frac{2}{3} \) und \( y = \frac{5}{3} \). Beide Verfahren führen zur gleichen Lösung.

Um das Einsetzungsverfahren zu verwenden, wird eine der Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst und dann in die andere Gleichung eingesetzt. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Prozess: 1. Die erste Gleichung nach \( x \) auflösen: \[ x + 4y = -2 \] \[ x = -2 - 4y \] 2. Den Ausdruck für \( x \) in die zweite Gleichung einsetzen: \[ 4x + 7y = 10 \] \[ 4(-2 - 4y) + 7y = 10 \] \[ -8 - 16y + 7y = 10 \] \[ -8 - 9y = 10 \] \[ -9y = 18 \] \[ y = -2 \] 3. Den Wert von \( y \) in die umgestellte erste Gleichung einsetzen, um \( x \) zu finden: \[ x = -2 - 4(-2) \] \[ x = -2 + 8 \] \[ x = 6 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = 6 \] \[ y = -2 \]

Das Einsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung Lösung des gegebenen Systems: 1. **Gleich aufschreiben:** \[ 7x - 11 = 1 \quad \text{(leichung 1)} \] \ 14x 20y = \quad \text{(Gleichung 2)} ] 2. **Eine Gleichungen nach einer Variablen auflösen.** Hier wird Gleichung 1 \(x\) aufgelöst: [ 7x = 11y + 1 \] \[ x = \frac{11y + 1}{7} \] 3. **Den Ausdruck für \(x\) in die andere Gleichung einsetzen.** Setze \(x = \frac{11y + 1}{7}\) in Gleichung 2 ein: \[ 14\left(\frac{11y + 1}{7}\right) - 20y = 12 \] \[ 2(11y + 1) - 20y = 12 \] \[ 22y + 2 - 20y = 12 \] \[ 2y + 2 = 12 \] \[ 2y = 10 \] \[ y = 5 \] 4. **Den Wert von \(y\) in die umgestellte Gleichung einsetzen, umx\) zu finden:** \[ x = \frac11(5) + 1}{7} \] \[ x = \frac{55 + 1}{7} \] \[ x = \frac{56}{7} \] \[ x = 8 \] 5. **Lösung des Gleichungssystems:** \[ x = 8, \quad y = 5 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist also \(x = 8\) und \(y = 5\).

Das Einsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung Lösung des gegebenen Gleichungssystems: 1. Gegebenes Gleichungssystem: \[ \begin{cases} 2x - y = 1 \\ x = \frac{1}{2}y + 0,5 \end{cases} \] 2. Setze die zweite Gleichung in die erste ein: \[ 2\left(\frac{1}{2}y + 0,5\right) - y = 1 \] 3. Löse die Klammern auf: \[ 2 \cdot \frac{1}{2}y + 2 \cdot 0,5 - y = 1 \] \[ y + 1 - y = 1 \] 4. Vereinfachen: \[ 1 = 1 \] Diese Gleichung ist immer wahr, was bedeutet, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat. Das bedeutet, dass jede Lösung der Form \( x = \frac{1}{2}y + 0,5 \) eine Lösung des Systems ist. Zusammengefasst: Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, die durch die Gleichung \( x = \frac{1}{2}y + 0,5 \) beschrieben werden.

Das Einsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung von Gleichungssystemen. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung Lösung des gegebenen Gleichungssystems: 1. **Gleichung aufstellen:** \[ x + 0,2y = \frac{1}{4}x + 5 \] 2. **Gleichung umstellen:** Zuerst die Gleichung so umstellen, dass alle Terme mit \(x\) und \(y\) auf einer Seite stehen: \[ x - \frac{1}{4}x + 0,2y = 5 \] 3. **Terme zusammenfassen:** \[ \left(1 - \frac{1}{4}\right)x + 0,2y = 5 \] \[ \frac{3}{4}x + 0,2y = 5 \] 4. **Gleichung nach \(x\) oder \(y\) auflösen:** Hier wird die Gleichung nach \(x\) aufgelöst: \[ \frac{3}{4}x = 5 - 0,2y \] \[ x = \frac{4}{3}(5 - 0,2y) \] \[ x = \frac{20}{3} - \frac{4}{15}y \] 5. **Einsetzen in die andere Gleichung:** Da nur eine Gleichung gegeben ist, wird die Lösung für \(x\) direkt verwendet. Es gibt keine zweite Gleichung, in die eingesetzt werden kann, daher ist die Lösung: \[ x = \frac{20}{3} - \frac{4}{15}y \] Das ist die Lösung des gegebenen Gleichungssystems.

Um das Einsetzungsverfahren anzuwenden, müssen die Gleichungen so umgeformt werden, dass eine der Variab isoliert wird und dann in die andere Gleichung eingesetzt werden kann. Hier sind die Schritte: 1. **Gleichungen aufstellen:** \[ \text{Gleichung 1: } x + 0,2y = \frac{1}{4}x + 5 \] \[ \text{Gleichung 2: } -\frac{3}{8}(x - 4) - 2y = 8,5 \] 2. **Gleichung 1 umformen:** \[ x + 0,2y = \frac{1}{4}x + 5 \] Multipliziere beide Seiten mit 4, um die Brüche zu eliminieren: \[ 4x + 0,8y = x + 20 \] Subtrahiere x von beiden Seiten: \[ 3x + 0,8y = 20 \] Isoliere x: \[ x = \frac{20 - 0,8y}{3} \] 3. **x in Gleichung 2 einsetzen:** \[ -\frac{3}{8}(x - 4) - 2y = 8,5 \] Setze \( x = \frac{20 - 0,8y}{3} \) ein: \[ -\frac{3}{8}\left(\frac{20 - 0,8y}{3} - 4\right) - 2y = 8,5 \] Multipliziere den Bruch aus: \[ -\frac{3}{8}\left(\frac{20 - 0,8y - 12}{3}\right) - 2y = 8,5 \] \[ -\frac{3}{8}\left(\frac{8 - 0,8y}{3}\right) - 2y = 8,5 \] \[ -\frac{3}{8} \cdot \frac{8 - 0,8y}{3} - 2y = 8,5 \] \[ -\frac{8 - 0,8y}{8} - 2y = 8,5 \] \[ -1 + 0,1y - 2y = 8,5 \] \[ -1 - 1,9y = 8,5 \] Addiere 1 zu beiden Seiten: \[ -1,9y = 9,5 \] Teile durch -1,9: \[ y = -5 \] 4. **y in die umgeformte Gleichung 1 einsetzen:** \[ x = \frac{20 - 0,8(-5)}{3} \] \[ x = \frac{20 + 4}{3} \] \[ x = \frac{24}{3} \] \[ x = 8 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = 8, \quad y = -5 \]

Das Einsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung von Gleichungssystemen. Hier ist jedoch nur eine einzelne Gleichung gegeben: \(8a - 4b = 3(b - 1)\). Um diese Gleichung zu lösen, kannst du die Schritte wie folgt durchführen: 1. **Gleichung auflösen**: \[8a - 4b = 3(b - 1)\] 2. **Klammern auflösen**: \[8a - 4b = 3b - 3\] 3. **Alle Terme auf eine Seite bringen**: \[8a - 4b - 3b + 3 = 0\] \[8a - 7b + 3 = 0\] 4. **Umstellen nach einer der Variablen (z.B. \(a\))**: \[8a = 7b - 3\] \[a = \frac{7b - 3}{8}\] Jetzt hast du \(a\) in Abhängigkeit von \(b\) ausgedrückt. Da nur eine Gleichung gegeben ist, gibt es unendlich viele Lösungen für \(a\) und \(b\), die diese Gleichung erfüllen. Du kannst \(b\) frei wählen und dann \(a\) entsprechend berechnen. Beispiel: - Wenn \(b = 1\), dann: \[a = \frac{7(1) - 3}{8} = \frac{7 - 3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\] Also ist ein Lösungspaar \((a, b) = \left(\frac{1}{2}, 1\right)\). Du kannst beliebige Werte für \(b\) einsetzen und die entsprechenden Werte für \(a\) berechnen.

Um das Einsetzungsverfahren anzuwenden, müssen die Gleichungen zunächst vereinfacht und dann eine der Variablen isoliert werden. Hier sind die Schritte: 1. **Gleichungen vereinfachen:** Erste Gleichung: \( 8a - 4b = 3(b - 1) \) \[ 8a - 4b = 3b - 3 \] \[ 8a - 4b - 3b = -3 \] \[ 8a - 7b = -3 \quad \text{(1)} \] Zweite Gleichung: \( 3a - \frac{3}{5}b = 5 + a \) \[ 3a - \frac{3}{5}b = 5 + a \] \[ 3a - a - \frac{3}{5}b = 5 \] \[ 2a - \frac{3}{5}b = 5 \quad \text{(2)} \] 2. **Eine der Variablen isolieren:** Aus Gleichung (2) isolieren wir \( a \): \[ 2a = 5 + \frac{3}{5}b \] \[ a = \frac{5}{2} + \frac{3}{10}b \quad \text{(3)} \] 3. **Einsetzen der isolierten Variable in die andere Gleichung:** Setze \( a \) aus Gleichung (3) in Gleichung (1) ein: \[ 8\left(\frac{5}{2} + \frac{3}{10}b\right) - 7b = -3 \] \[ 8 \cdot \frac{5}{2} + 8 \cdot \frac{3}{10}b - 7b = -3 \] \[ 20 + \frac{24}{10}b - 7b = -3 \] \[ 20 + 2.4b - 7b = -3 \] \[ 20 - 4.6b = -3 \] \[ -4.6b = -3 - 20 \] \[ -4.6b = -23 \] \[ b = \frac{-23}{-4.6} \] \[ b = 5 \] 4. **Den Wert von \( b \) in die isolierte Gleichung für \( a \) einsetzen:** Setze \( b = 5 \) in Gleichung (3) ein: \[ a = \frac{5}{2} + \frac{3}{10} \cdot 5 \] \[ a = \frac{5}{2} + \frac{15}{10} \] \[ a = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \] \[ a = \frac{8}{2} \] \[ a = 4 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist \( a = 4 \) und \( b = 5 \).

Um das Einsetzungsverfahren anzuwenden, müssen die Gleichungen so umgeformt werden, dass eine der Variablen isoliert wird. Hier sind die Schritte: 1. Die beiden Gleichungen sind: \[ -4(a + b) = 1 - 9b \] \[ -\frac{5}{3}b + 6a = 2 \] 2. Zuerst wird die erste Gleichung umgeformt, um \(a\) oder \(b\) zu isolieren. Wir isolieren \(a\): \[ -4a - 4b = 1 - 9b \] \[ -4a = 1 - 9b + 4b \] \[ -4a = 1 - 5b \] \[ a = -\frac{1}{4} + \frac{5}{4}b \] 3. Nun wird der Ausdruck für \(a\) in die zweite Gleichung eingesetzt: \[ -\frac{5}{3}b + 6\left(-\frac{1}{4} + \frac{5}{4}b\right) = 2 \] \[ -\frac{5}{3}b + 6\left(-\frac{1}{4}\right) + 6\left(\frac{5}{4}b\right) = 2 \] \[ -\frac{5}{3}b - \frac{6}{4} + \frac{30}{4}b = 2 \] \[ -\frac{5}{3}b - \frac{3}{2} + \frac{15}{2}b = 2 \] \[ -\frac{5}{3}b + \frac{15}{2}b - \frac{3}{2} = 2 \] 4. Um die Brüche zu vereinfachen, wird ein gemeinsamer Nenner verwendet. Der gemeinsame Nenner von 3 und 2 ist 6: \[ -\frac{10}{6}b + \frac{45}{6}b - \frac{9}{6} = 2 \] \[ \left(-\frac{10}{6} + \frac{45}{6}\right)b - \frac{9}{6} = 2 \] \[ \frac{35}{6}b - \frac{9}{6} = 2 \] 5. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit 6, um die Brüche zu eliminieren: \[ 35b - 9 = 12 \] \[ 35b = 21 \] \[ b = \frac{21}{35} \] \[ b = \frac{3}{5} \] 6. Setze den Wert von \(b\) in die umgeformte Gleichung für \(a\) ein: \[ a = -\frac{1}{4} + \frac{5}{4}\left(\frac{3}{5}\right) \] \[ a = -\frac{1}{4} + \frac{15}{20} \] \[ a = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} \] \[ a = \frac{2}{4} \] \[ a = \frac{1}{2} \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ a = \frac{1}{2}, \quad b = \frac{3}{5} \]

Um das Einsetzungsverfahren anzuwenden, gehen wir wie folgt vor: 1. **Gleichung umstellen**: Die zweite Gleichung \( x = 4y + 6 \) ist bereits nach \( x \) umgestellt. 2. **Einsetzen**: Setze \( x \) aus der zweiten Gleichung in die erste Gleichung ein: \[ 7(4y + 6) - 3y = 17 \] 3. **Gleichung vereinfachen**: \[ 28y + 42 - 3y = 17 \] \[ 25y + 42 = 17 \] 4. **Nach \( y \) auflösen**: \[ 25y = 17 - 42 \] \[ 25y = -25 \] \[ y = -1 \] 5. **Wert von \( y \) in die zweite Gleichung einsetzen, um \( x \) zu finden**: \[ x = 4(-1) + 6 \] \[ x = -4 + 6 \] \[ x = 2 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist also \( x = 2 \) und \( y = -1 \).

Um das Einsetzungsverfahren für das gegebene Gleichungssystem anzuwenden, gehen wir wie folgt vor: 1. **Gleichungen aufstellen:** - \( 1: 13x - 9y = -41 \) - \( 2: x - 5y = -1 \) 2. **Eine der Gleichungen nach einer Variablen umstellen:** Wir nehmen die zweite Gleichung und lösen sie nach \( x \) auf: \[ x = 5y - 1 \] 3. **Diese Ausdruck für \( x \) in die erste Gleichung einsetzen:** Setze \( x = 5y - 1 \) in die erste Gleichung ein: \[ 13(5y - 1) - 9y = -41 \] 4. **Gleichung vereinfachen:** \[ 65y - 13 - 9y = -41 \] \[ 65y - 9y = -41 + 13 \] \[ 56y = -28 \] \[ y = -\frac{28}{56} = -\frac{1}{2} \] 5. **Wert von \( y \) in die Gleichung für \( x \) einsetzen:** Setze \( y = -\frac{1}{2} \) in \( x = 5y - 1 \) ein: \[ x = 5(-\frac{1}{2}) - 1 \] \[ x = -\frac{5}{2} - 1 = -\frac{5}{2} - \frac{2}{2} = -\frac{7}{2} \] 6. **Lösungsmenge:** Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = -\frac{7}{2}, \quad y = -\frac{1}{2} \] Die Lösung des Systems ist also \( (x, y) = \left(-\frac{7}{2}, -\frac{1}{2}\right) \).

Um das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen, gehen wir wie folgt vor: 1. **Gleichungen aufschreiben:** \[ 1) \quad 2x - y = 2 \] \[ 2) \quad y - x = 14 \] 2. **Eine der Gleichungen nach einer Variablen umstellen.** Wir nehmen die zweite Gleichung und stellen sie nach \(y\) um: \[ y = x + 14 \] 3. **Den Ausdruck für \(y\) in die erste Gleichung einsetzen:** \[ 2x - (x + 14) = 2 \] 4. **Die Gleichung vereinfachen:** \[ 2x - x - 14 = 2 \] \[ x - 14 = 2 \] \[ x = 16 \] 5. **Den Wert von \(x\) in die umgestellte Gleichung für \(y\) einsetzen:** \[ y = 16 + 14 \] \[ y = 30 \] 6. **Lösung des Gleichungssystems:** \[ x = 16, \quad y = 30 \] Die Lösung des Systems ist \(x = 16\) und \(y = 30\).

Um das Einsetzungsverfahren für die beiden Gleichungen zu verwenden, folge diesen Schritten: 1. **Gleichungen aufstellen**: - \( 1. \quad 2y + 10x = -2 \) - \( 2. \quad y + 3.5x = 0.5 \) 2. **Eine der Gleichungen nach einer Variablen umstellen**: Wir nehmen die zweite Gleichung und stellen sie nach \( y \) um: \[ y = 0.5 - 3.5x \] 3. **Diese Ausdruck für \( y \) in die erste Gleichung einsetzen**: Setze \( y \) in die erste Gleichung ein: \[ 2(0.5 - 3.5x) + 10x = -2 \] 4. **Gleichung vereinfachen**: \[ 1 - 7x + 10x = -2 \] \[ 1 + 3x = -2 \] \[ 3x = -3 \] \[ x = -1 \] 5. **Wert von \( x \) in die umgestellte Gleichung für \( y \) einsetzen**: Setze \( x = -1 \) in \( y = 0.5 - 3.5x \) ein: \[ y = 0.5 - 3.5(-1) \] \[ y = 0.5 + 3.5 = 4 \] 6. **Lösung**: Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = -1, \quad y = 4 \] Das Einsetzungsverfahren hat dir die Werte für \( x \) und \( y \) gegeben.