Wie löse ich das Einsetzungsverfahren für die Gleichungen x + 0,2y = 1/4x + 5 und -3/8(x-4) - 2y = 8,5?

Question

Wie löse ich das Einsetzungsverfahren für die Gleichungen x + 0,2y = 1/4x + 5 und -3/8(x-4) - 2y = 8,5?

Antwort

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Accepted Answer

Um das Einsetzungsverfahren anzuwenden, müssen die Gleichungen so umgeformt werden, dass eine der Variab isoliert wird und dann in die andere Gleichung eingesetzt werden kann. Hier sind die Schritte: 1. **Gleichungen aufstellen:** \[ \text{Gleichung 1: } x + 0,2y = \frac{1}{4}x + 5 \] \[ \text{Gleichung 2: } -\frac{3}{8}(x - 4) - 2y = 8,5 \] 2. **Gleichung 1 umformen:** \[ x + 0,2y = \frac{1}{4}x + 5 \] Multipliziere beide Seiten mit 4, um die Brüche zu eliminieren: \[ 4x + 0,8y = x + 20 \] Subtrahiere x von beiden Seiten: \[ 3x + 0,8y = 20 \] Isoliere x: \[ x = \frac{20 - 0,8y}{3} \] 3. **x in Gleichung 2 einsetzen:** \[ -\frac{3}{8}(x - 4) - 2y = 8,5 \] Setze \( x = \frac{20 - 0,8y}{3} \) ein: \[ -\frac{3}{8}\left(\frac{20 - 0,8y}{3} - 4\right) - 2y = 8,5 \] Multipliziere den Bruch aus: \[ -\frac{3}{8}\left(\frac{20 - 0,8y - 12}{3}\right) - 2y = 8,5 \] \[ -\frac{3}{8}\left(\frac{8 - 0,8y}{3}\right) - 2y = 8,5 \] \[ -\frac{3}{8} \cdot \frac{8 - 0,8y}{3} - 2y = 8,5 \] \[ -\frac{8 - 0,8y}{8} - 2y = 8,5 \] \[ -1 + 0,1y - 2y = 8,5 \] \[ -1 - 1,9y = 8,5 \] Addiere 1 zu beiden Seiten: \[ -1,9y = 9,5 \] Teile durch -1,9: \[ y = -5 \] 4. **y in die umgeformte Gleichung 1 einsetzen:** \[ x = \frac{20 - 0,8(-5)}{3} \] \[ x = \frac{20 + 4}{3} \] \[ x = \frac{24}{3} \] \[ x = 8 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = 8, \quad y = -5 \]

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**Beispielaufgabe:** Gegeben sind die beiden Funktionen \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) und \( g(x) = -x^2 + 3x \). **Aufgabe:** Bestimme alle Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen. --- **Lösung:** 1. **Gleichsetzen der Funktionen:** \( f(x) = g(x) \) \( x^3 - 2x^2 + x = -x^2 + 3x \) 2. **Umstellen:** \( x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 3x = 0 \) \( x^3 - x^2 - 2x = 0 \) 3. **Ausklammern:** \( x(x^2 - x - 2) = 0 \) 4. **Nullstellen bestimmen:** a) \( x = 0 \) b) \( x^2 - x - 2 = 0 \) Die quadratische Gleichung lösen: \( x^2 - x - 2 = 0 \) Mitternachtsformel: \( x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \) Also: \( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) \( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \) Die Schnittstellen liegen also bei \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( x = -1 \). 5. **y-Koordinaten berechnen:** Für \( x = 0 \): \( f(0) = 0^3 - 2\cdot0^2 + 0 = 0 \) Schnittpunkt: \( (0|0) \) Für \( x = 2 \): \( f(2) = 8 - 8 + 2 = 2 \) Schnittpunkt: \( (2|2) \) Für \( x = -1 \): \( f(-1) = (-1) - 2\cdot1 + (-1) = -1 - 2 - 1 = -4 \) Schnittpunkt: \( (-1|-4) \) **Antwort:** Die Graphen schneiden sich in den Punkten \( (-1|-4) \), \( (0|0) \) und \( (2|2) \).

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Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen vorkommen. Sie beschreibt, wie sich eine Größe (z. B. Temperatur, Geschwindigkeit, Population) in Abhängigkeit von einer oder mehreren Variablen verändert. **Beispiel einer Differentialgleichung:** \[ \frac{dy}{dx} = 3y \] Hier ist \( y \) die unbekannte Funktion von \( x \), und \( \frac{dy}{dx} \) ist ihre Ableitung. **Lösen einer Differentialgleichung:** Das Ziel ist, die Funktion \( y(x) \) zu finden, die die Gleichung erfüllt. **Schritt-für-Schritt-Lösung des Beispiels:** 1. **Trennung der Variablen:** \[ \frac{dy}{dx} = 3y \implies \frac{1}{y}dy = 3dx \] 2. **Integration beider Seiten:** \[ \int \frac{1}{y}dy = \int 3dx \] \[ \ln|y| = 3x + C \] (C ist die Integrationskonstante.) 3. **Umstellen nach \( y \):** \[ |y| = e^{3x + C} = e^C \cdot e^{3x} \] \[ y(x) = A e^{3x} \] (mit \( A = \pm e^C \), eine beliebige Konstante.) **Zusammenfassung:** - Eine Differentialgleichung enthält Ableitungen einer Funktion. - Die Lösung ist eine Funktion, die die Gleichung erfüllt. - Es gibt verschiedene Methoden zur Lösung, je nach Typ der Differentialgleichung (z. B. Trennung der Variablen, Variation der Konstanten, charakteristische Gleichung bei linearen DGLs). Weitere Informationen findest du z. B. auf [Wikipedia: Differentialgleichung](https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung).

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Um das Gleichsetzungsverfahren anwenden zu können, benötigst du ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit **zwei Gleichungen** und **zwei Variablen** (meistens x und y). In deiner Angabe steht... [mehr]

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Um das Gleichsetzungsverfahren anwenden zu können, benötigst du ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit **zwei Gleichungen** und **zwei Variablen** (meistens x und y). In deiner Angabe steht aber nur **eine Gleichung**: \( y = 9x - 49 \) Das ist keine System von Gleichungen sondern nur eine einzelne Gleichung mit zwei Unbekannten. Das Gleichsetzungsverfahren ist hier nicht anwendbar, da mindestens zwei Gleichungen benötigt werden. **Fazit:** Mit nur einer Gleichung kann das Gleichsetzungsverfahren nicht angewendet werden. Bitte gib eine zweite Gleichung an, damit das LGS gelöst werden kann.

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Um das Additions (auch Gleichsetzungs- oder Eliminationsverfahren genannt) anzuwenden, werden die beiden Gleichungen so addiert, dass eine Variable wegfällt. Hier sind die beiden Gleichungen: (I) 4x + 3y = 5 (II) -4x - 5y = -5 **Schritt 1: Gleichungen addieren** Addiere (I) und (II): (4x + 3y) + (-4x - 5y) = 5 + (-5) 4x - 4x + 3y - 5y = 0 0x + (-2y) = 0 -2y = 0 **Schritt 2: Nach y auflösen** -2y = 0 y = 0 **Schritt 3: y in eine der Gleichungen einsetzen** Setze y = 0 in (I) ein: 4x + 3·0 = 5 4x = 5 x = 5/4 **Lösung:** x = 5/4 y = 0 **Lösungsmenge:** L = { (5/4 | 0) }