Wie ermittle ich die Lösung des Gleichungssystems mit dem Gleichsetzungs- oder Einsetzungsverfahren?

Um ein Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungs- oder Einsetzfahren zu lösen, folge diesen Schritten:

### Gleichsetzungsverfahren

1. **Gleichungen aufstellen**: Schreibe die beiden Gleichungen in der Form \( y = f(x) \) und \( y = g(x) \).
2. **Gleichsetzen**: Setze die beiden Ausdrücke für \( y \) gleich: \( f(x) = g(x) \).
3. **Lösen**: Löse die resultierende Gleichung nach \( x \) auf.
4. **Einsetzen**: Setze die gefundenen \( x \)-Werte in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um die entsprechenden \( y \)-Werte zu finden.

### Einsetzungsverfahren

1. **Gleichungen aufstellen**: Schreibe die beiden Gleichungen in der Form \( y = f(x) \) und \( y = g(x) \).
2. **Umstellen**: Stelle eine der Gleichungen nach einer der Variablen um (z.B. \( y = f(x) \)).
3. **Einsetzen**: Setze den Ausdruck für die umgestellte Variable in die andere Gleichung ein.
4. **Lösen**: Löse die resultierende Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf.
5. **Einsetzen**: Setze den gefundenen Wert in die umgestellte Gleichung ein, um die andere Variable zu finden.

### Beispiel

Betrachte das Gleichungssystem:
\[
1) \quad y = 2x + 3
\]
\[
2) \quad y = -x + 1
\]

#### Gleichsetzungsverfahren

1. Setze die beiden Gleichungen gleich:
\[
2x + 3 = -x + 1
\]

2. Löse nach \( x \):
\[
2x + x = 1 - 3
\]
\[
3x = -2
\]
\[
x = -\frac{2}{3}
\]

3. Setze \( x = -\frac{2}{3} \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, z.B. \( y = 2x + 3 \):
\[
y = 2\left(-\frac{2}{3}\right) + 3
\]
\[
y = -\frac{4}{3} + 3
\]
\[
y = -\frac{4}{3} + \frac{9}{3}
\]
\[
y = \frac{5}{3}
\]

Die Lösung ist \( x = -\frac{2}{3} \) und \( y = \frac{5}{3} \).

#### Einsetzungsverfahren

1. Stelle eine der Gleichungen nach einer Variablen um, z.B. \( y = 2x + 3 \).
2. Setze \( y = 2x + 3 \) in die zweite Gleichung ein:
\[
2x + 3 = -x + 1
\]

3. Löse nach \( x \):
\[
2x + x = 1 - 3
\]
\[
3x = -2
\]
\[
x = -\frac{2}{3}
\]

4. Setze \( x = -\frac{2}{3} \) in \( y = 2x + 3 \) ein:
\[
y = 2\left(-\frac{2}{3}\right) + 3
\]
\[
y = -\frac{4}{3} + 3
\]
\[
y = \frac{5}{3}
\]

Die Lösung ist ebenfalls \( x = -\frac{2}{3} \) und \( y = \frac{5}{3} \).

Beide Verfahren führen zur gleichen Lösung.